波数(k)を用いた空間座標表示を導入する意義を教えて下さい

金属結晶中の電子の状態について波数(k)を用いた空間座標表示を導入する意義を教えて下さい

No.6 ベストアンサー 回答者： PAM123 回答日時： 2007/06/21 01:04

私もかつて金属電子論を勉強しはじめに、なぜこんな恣意的な表示をするのか？と悩んだことがあります。

そのとき私が最終的に納得した答えを書きます。これだけが理由ではないかもしれませんが、私は以下のように考えて納得しました。

まず、仮にkでなく、単純に位置で表示することを考える。
すると、ある位置に対して電子のエネルギーを、横軸位置、縦軸エネルギーのグラフにプロットすることになる。
しかし量子力学では、位置固有状態が、かならずしもエネルギー固有状態ではないので、位置とエネルギーを同時に決定できない。
したがって、「ある位置にある電子のエネルギー」という上記のようなプロットは不可能。

では、どうしたらいいか？答えは、エネルギーと同時に固有状態になるある物理量を横軸に選び、縦軸エネルギー横軸？？？という形でプロットをすればいい。

仮に、結晶でなくただの一様な空間だと平面波がエネルギー固有状態で、
運動量と同時に固有状態になるので、この運動量あるいは、これをプランク定数（2πでわったもの）でわった波数kを横軸に選べばいい。

じゃあ、一様な空間でなく結晶の場合は？その場合でも実はエネルギーと
同時に固有状態になる物理量が存在する。それは結晶運動量でこれをhbarで割ったものが波数ｋになる。この存在を保証するのがブロッホの定理。

したがってｋを横軸にとるとそのkのときのエネルギーとして、E-Kのプロットを作れる。

No.5 回答者： kk0902 回答日時： 2007/06/19 01:34

金属結晶に限らず、並進対称性を有する場における物理量のエネルギー固有状態は、波動となります（ブロッホの定理）。

つまり、ある実数ベクトルkを用いて、lだけ離れたサイト間の物理量には、
u(l)=exp(ik・l)u(0)
が要請されます。
さらに、周期境界条件を用いると、第1ブリルアンゾーン内のkの値を用いれば、kに対する全ての物理量を適切に表現できることが分かります。
よって、無限に広がる結晶中において、アボガドロ数程度も存在する電子の状態を1つ1つ指定しなくても、第1ブリルアンゾーン内の波数kだけで指定できるのです。

電子状態をkで指定する意義はここにあると思います。

No.4 回答者： kenojisan 回答日時： 2007/06/18 14:18

固体物理学において、非常に多くの物理現象が波長の関数になっているのですが、回答１に述べられているように、波動の運動量やエネルギーが波長の逆数＝波数の関数とした方が単純な形式となるため、ほとんどの表式は波長では無く波数で現すことになります。

従って、電子のバンド構造や、回折現象などを考えるには、実空間では無くて波数空間で考えた方が理解しやすくなるからです。
こういう基本的な疑問で有っても、回答３で述べられているように、何故そうなのか？を考えることは大事で、盲目的に勉強を進めるよりは何故かを理解してから勉強する方がはるかに身につくと思います。
ただ、回答２のアドバイスも無理からぬところが有りまして。固体物理の初学者には、実際に波数空間を使う具体的御利益が見えないのが普通です。通常の固体物理の参考書は、演繹的に固体物理が理解できるような順序で学習項目が並んでいますから、最初にいきなり波数空間の話が来ちゃうんですよね。なんで、こんなことを考えないといけないのか分からないままに無理矢理進むと、その後で具体的な物理現象の解説が出てきて、そこでようやく波数空間の必要性が分かってくるという感じですよね。
本当は、何か物理現象の具体例を出してくれて、波数空間の必要性を示してくれればピンとくるのですが。

No.3 回答者： gyrocompas 回答日時： 2007/06/18 10:30

物理学を学ぶのは、柔道や書道を学ぶのとは違います

疑問に思ったことは、何でも徹底的に追求するべきです
「習うより慣れろ」は物理学にとって邪道です。
余計なことを考えたから、ペニシリンも発見され
宇宙の背景放射も発見されたのです

No.2 回答者： wata717 回答日時： 2007/06/18 09:44

”波数(k)を用いた空間座標表示”とは奇妙です．通常は波数空間といいます．あなたにとって今必要なことは何も余計なことは考えず，真面目に勉強することです．「習うより慣れろです．」何一つの仕事も習得せず，自分にあった仕事を探しつづけて年老いてしまうフリータとどこか似ています．

”花”は英語では”flower”です．何故そんな漢字をかくのか，何故そんなスペルになったのか考えることは余計なのです．ご質問の本質は数学的には群論とフーリエ変換に由来します．物理学としては量子力学が深く関係します．あなたが満足できるレベルに到達するには長期間にわたる絶え間ない努力が必要です．

No.1 回答者： e_beam 回答日時： 2007/06/18 08:12

波数ｋにプランク定数ｈ÷（２π）をかけると運動量ｐになります。

横軸にエネルギーEをとり、縦軸に波数ｋをプロットすると、それはエネルギーと運動量をグラフ化したものになります。
エネルギーEは角速度ωにｈ÷（２π）をかけたものですから、E対ｋの関係は、ω対ｋの関係を表したものともみなすことができます。位相速度ｖｐはω／kですし、群速度ｖｇはｄω／dkで表されます。E対ｋプロットの原点からの傾きが位相速度を、接線が群速度を表していることになります。この関係が直線でないということは、速度が周波数で変化することを表し、いくつかの周波数成分から構成される波束が伝播する間に散りじりに分かれてしまう分散をこのグラフは示します。

また、波数ｋを結晶格子の実空間から求めることは、逆空間を求めることに対応します。これは、フーリエ変換をして直交して逆次元の新たな次元を導入することになります。
この考え方のメリットは、無限に続くある周期性を持つ結晶構造の中の格子振動(原子振動)を有限な空間に閉じ込めることができます。
さらに、電子線やX線などで結晶の回折パターンを観察し写真などに撮影すると、この映像がまさに逆空間つまりｋ空間を撮影したものになります。

勉強している時には、その奥深さが分からないのですが、一通り学んでみて後で振り返るとすごくおくが深いことであることにおき好きになられると思います。