ヒモの問題

「十分に長いヒモから以下の支持に従って１０本のヒモを切る。
　(a) 長さはどれもcmを単位として０でない整数とする。
　(b) どの３本を選んでもそれらを辺にもつ三角形をつくることができない。
　(c) 一番短いものは１cm,二番目に短いものは２cmとする。
この指示に従いまったく無駄なくヒモを切っていくと、一番長いヒモは何cmであるか求めよ。ヒモの太さは無視する。」

こちらの答えは「89ｃｍ」ということですが、答えの導き方がわかりません。どなたか分かるかたはいらっしゃいますか？

No.6 ベストアンサー 回答者： metis 回答日時： 2007/06/18 22:02

三角形の成立条件を考えてみましょう。

今回は３辺の長さが分かっていて、その条件のもとで三角形が成立しているかが問題になります。

では、適当な長さの直線を一本引いてみて下さい（長さは何でも構いません）
ここから、残りの２本を考えていくわけですが…。
残り２本の長さの和と、最初の１本の長さの差を考えて行きましょう。
残り２本の和が最初の１本より長いと？同じだと？短いと？
コンパスがあるなら、２本のうちどちらかを適当な長さ（１本目より短い）に固定して描いてみると理解できるかと思います。

三角形の成立条件が理解できたらもう少しです。
1cm・2cmの2本に三角形が成立しないように一本加えるには？
2cmと3本目の2本に…？
これを繰り返すだけです。

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2007/06/18 21:52

三角形が出来ないようにするには、

任意のａ、ｂ、ｃ（ａ＜ｂ＜ｃ）　の３本において、
ａ＋ｂ≦ｃ　の関係が成り立ちます。

以下、単位のｃｍを省略します。
無駄なく不等式ａ＋ｂ≦ｃを満たすには、
１＋２≦３　　・・・３本目は３
２＋３≦５　　・・・４本目は５
３＋５≦８　　・・・５本目は８
５＋８≦１３　　・・・６本目は１３
８＋１３≦２１　　・・・７本目は２１
１３＋２１≦３４　　・・・８本目は３４
２１＋３４≦５５　　・・・９本目は５５
３４＋５５≦８９　　・・・１０本目は８９

これ、有名な「フィボナッチ数列」の２項目～１１項目とおんなじですね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3% …

No.4 回答者： redowl 回答日時： 2007/06/18 21:50

この数字を見てフィボナッチ数列　を連想。

http://www20.big.or.jp/~morm-e/puzzle/column/002 …

No.3 回答者： shinkun0114 回答日時： 2007/06/18 21:50

ポイントは、

＞どの３本を選んでもそれらを辺にもつ三角形をつくることができない。

これだと思います。
三角形を作るには、ある2辺の和が他の一辺より小さくなくてはなりません。
たとえば、1cm・2cmのヒモと三角形を作るには、もう一本は3cmより短くないとできません。
言い換えると、1cm＋2cm以上のヒモを用意すれば、この問題の条件に当てはまります。
条件ではいちばん短い組み合わせですから、3本目のヒモは3cmになります。

同様に2cmと3cmのヒモで三角形ができないのは、2+3=5cmが最短です。
これをくり返します。

1cm+2cm=3cm
2cm+3cm=5cm
3cm+5cm=8cm
　：
　：
34cm+55cm=89cm

89cmが10本目として得られます。

No.2 回答者： infra_red 回答日時： 2007/06/18 21:49

１本目が1cm、２本目が2cm、そして、正三角形を作ることのできない３本目の最小の長さは3cmですよね。

２本目が2cm、３本目が3cm、そして、正三角形を作ることのできない４本目の最小の長さは5cmです。
３本目が3cm、４本目が5cm、そして、正三角形を作ることのできない５本目の最小の長さは8cmです。
・・・
これを繰り返すと、１０本目は89cmとなります。

No.1 回答者： edomin2004 回答日時： 2007/06/18 21:49

1番目のひもが1cmで2番目のひもが2cmなら、3番目のひもは3cmになります。

（三角形ができない最小の長さ）
同じように、4番目のひもは2番目のひもと3番目のひもを足した長さになります。
結局、
１、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、８９
で、10番目のひもは89cmになります。
式で表すと
x(1)=1
x(2)=2
x(n)=x(n-1)+x(n-2)　（x>=3)

かな？