No.3ベストアンサー
- 回答日時:
問題文の意味がイマイチ良く分かりません。
私の場合、少なくとも2通りの解釈が出来ます。
(1)「|m| < 2を満たすとき、x^2 + mx + 1 > 2x + mを満たすようなxのとりうる範囲を求めよ」
(2)「|m| < 2の範囲において、常に、x^2 + mx + 1 > 2x + mを満たすようなxの範囲を求めよ」
質問に記載されている問題文をそのままとれば、(1)のニュアンスの方が強いような気がします。
(1)の場合は、
m = 0のとき、(x-1)^2 > 0より、x≠1、また、x=1のとき
(1-1)^2 > -m(1-1)より、0 > 0なので任意のmにおいてx = 1
の値をとらない事が言える。よって、xのとりうる範囲はx ≠1である。
だが、問題の答えを見る限り(2)のような気がします。
まず、
(x-1)^2 > -m(x-1)については、
(x-1)が正、0、負の場合に分けて考えなければなりません。
(1)(x-1)が正
(x-1) > 0より、x > 1
(x-1)^2 > -m(x-1)より、両辺を(x-1)で割ると、
(x-1) > -mとなり、
すなわち、x > 1-mとなります。
-2 < m < 2 ならば、-1 < 1-m < 3となり、
ここで、x≧3と定めれば、任意のmに対して不等式を満たす事に
なります。しかし、x > 3と定めたくなるかもしれませんが
これは間違いです。なぜなら、1-mのとりうる範囲は3未満である
事に注意すれば、x≧3ならば、常に、1-m < xを満たすわけです。
要するに、x = 3のとき、1-m < xは、1-m < 3となって、これも
OKだからです。
また、(x-1) が正となる条件であるx > 1にも注意をすれば、
x≧3ならば適用範囲でOKですね..。
(2)(x-1) = 0のとき、
x = 1より、
(x-1)^2 > -m(x-1)に代入すると、
0 > 0になるので、不適です。
(3)(x-1) < 0のとき
これも(1)と同様に考えればよいだけです。
(x-1) < 0より、
x < 1
(x-1)^2 > -m(x-1)より、今度は(x-1)は負になるので、両辺を
(x-1)で割ると不等号の向きが変わり、
(x-1) < -mとなります。
そして、x < -m + 1となり、-1 < -m+1 < 3より、
x≦-1であれば、-2 < m < 2を満たす任意のmに対して、x < -m+1
すなわち不等式が成立します。
また、x < 1である事に注意をすれば、x≦-1は適用範囲内であるので、
OKとなります。
よって、(1)(2)(3)より、x≦-1 , x≧3となります。
No.2
- 回答日時:
どうやら不等式を理解していないようですね。
x^2+mx+1>2x+mについてmに-2,2を代入すると、
m=-2のとき、x=3,1
m=2のとき、x=±1
と求まります。
この時、x>0の範囲を考えると、
m=-2のとき、x≦1,3≦x
m=2のとき、x≦-1,1≦x
となり、整理すると、
x≦-1,3≦x
となります。
No.1
- 回答日時:
>(x-1)^2>-m(x-1)
>x-1>-m
これが言えるのはx-1>0の場合(x>1)です。
x-1≧2よりx≧3…(A)
等号はmが-2より大きく-2に等しくならないから
x-1は2までなりうることから等号が入ります。
x-1<0の場合(x<1)は不等号の向きが変わりkます。
x-1<-m
m>2だから
x-1≦-2
x≦-1…(B)
x-1=0の場合(x=1)
最初の式
x^2+mx+1>2x+m
に戻って考えると
m+2>2+m
m>m
この式は成立しない。つまりx=1は適さない。…(C)
(A),(B),(C)をまとめれば解答の結果が得られますよ。
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