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θ=8π/3のとき 正弦、余弦、正接を求めよ。
解答見てもわかりません。教えてください。

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A 回答 (8件)

出題意図は2つ考えられます。

1つは「加法定理」や「倍角公式」を使って計算できるか? もう1つは、単位円を使って直観的に答が出せるか? 特に8π/3と2π/3 の三角関数は「同じ」になることが理解できているか? というもの。
ここでは、おそらく、後者だと思います。

とすると、あまりに初歩すぎて、図がうまく利用できないこのサイトには向いていない質問かと思います。

できれば、近くにいる方に、図を書いてもらいながら説明を受けてください。
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三たびお邪魔します。



>>>
テストなどで出題されたときこれをどう表現すればいいか教えていただけたらと思っています。
sanoriさんなら解答欄にどう書きますか?

私の経験ですと、
sin120 = (√3)/2
cos120 = -1/2
 ・・・あ! 答えを書いちゃった!(笑)
というような、単純に具体的な値を求める問題では、途中経過を答案に書くことを要求されたケースは記憶にありません。

よって、前々回に書いた
sin480 = sin120
cos480 = cos120
を書けば、それで経過の説明はおしまいです。

この問題のように、図解で単純に値を求めることができるのは、
(45度刻みの)
0度、45度、90度、135度、180度、225度、270度、315度
(30度刻みの)
0度、30度、60度、90度、120度、・・・・・、270度、330度
という場合だけだと思います。


上記以外の角度でも、公式などを使って解ける場合もあります。
公式を使う場合は、その公式を使う経過を書くほうが良いでしょう。

公式を使う簡単な例
「sin20度 = 0.342 である。
 それを利用して、sin160度 を求めよ。」

sin(180-θ) = sinθ より、
sin(180-20) = sin20
よって、
sin160 = sin20 = 0.342
このような場合は、経過を書いたほうが良いですね。
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条件から


θ=8π/3

θ=2π/3

これに対して、動径OP=2とすると

P(-1,√3)

ゆえに

Sinθ=√3/2
Cosθ=-1/2
Tanθ=-√2


上のような感じで書けば良いと思います。

θ=8π/3がθ=2π/3は大丈夫ですよね。


θを決め、θを保ちつつ円周と原点を結ぶ線をOPとします。Pはもちろん円周上にあります。そのPからX軸に対し垂直な線を引くと三角形が出来ます。ここで三角形の斜辺から円の半径、つまり動径が決まります。
同時にPのX座標、Y座標は三角形の底辺と高さと同じですからPの座標が決定します。
三角形の各辺が分かったのでSin、Cos、Tanは求めれますよね。
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#3です。


たとえば
θ=8π/3=2π+2π/3=2π+θ'
とおけば
θ'=2π/3
これから
sinθ= sinθ'= sin(2π/3)= sin(π/3)=(√3)/2
以下同様にして
cosθ=…
tanθ=…

と解答すればいいかと思います。
必要なら直角三角形に三辺の比と角度π/3(=60°),π/6(=30°)を書き込んだ図を描いておくとなお良いでしょう。
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再びお邪魔します。



具体的な数値を求めるための説明を補足します。

120度のところに印を付ける、と説明しましたが、
その印を印Aと呼ぶことにして、

さらに、60度のところにも印をつけて、それを印Bとします。

すると、原点O、印B、印Aを結んで出来る三角形は、1辺の長さが1の正三角形になります。

余弦の絶対値は、線分ABつまり正三角形の1辺を2等分したものですから、・・・

そして、正弦(の絶対値)は、三平方の定理により、・・・
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この回答へのお礼

ありがとうございます。テストなどで出題されたときこれをどう表現すればいいか教えていただけたらと思っています。
sanoriさんなら解答欄にどう書きますか?

お礼日時:2007/07/08 02:06

自分の知っている角度の和や差で表して和積公式を使ってください。


8π/3=2π+2π/3
三角関数が周期が2πですから2πを差し引いた角度θ'=θ-2π=2π/3で計算すればいいですよ。
sinθ= sinθ'= sin(2π/3)= sin(π/3)=?
cosθ= cosθ'= cos(2π/3)= - cos(π/3)=?
tanθ= tanθ'= tan(2π/3)= - tan(π/3)=?

π/3[ラジアン]=60°のsin,cos,tanの値は分かりますね。
もし分からなければ、
一辺の長さ2の正三角形を縦に半分に2等分した直角三角形の辺の比から求められます。
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この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます。理解はできたのですが、テストでの解答の書き方としてはどう書けば良いのか教えていただけたらうれしいです。

お礼日時:2007/07/08 01:57

ラジアンだと分かりにくいですか?


度に直してみましょうか。
ラジアンを度に直すには、180/π をかけるとよいです。
8π/3 × 180/π = 480度

480度は1周(360度)してから、さらに120度回ったということなので、
sin480 = sin120
cos480 = cos120

XY座標系で、原点を中心に半径1の円を描きましょう。
そして、点(1,0)のところがスタート(0度)として、
そこから反時計回りに120度回った箇所に印をつけましょう。
印からY軸に垂線を延ばし、Y軸と交わったところのY座標が sin120。
印からX軸に垂線を下ろし、X軸と交わったところのX座標が cos120。
です。

正接は正弦÷余弦なので、
tan120(=tan480)は、
tan120 = sin120÷cos120度
です。
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θ=120°のときのsinθ,cosθ,tanθではないでしょうか。


 
 http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansu …

リンクの次のページのほうが参考になると思いますが、一応最初のほうを張っておきます。
 
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