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自分の趣味で、{f(x)}^2-f'(x)=0 という微分方程式が解けるかどうかやってみました。
解答
(1) f(x)=0は、与えられた微分方程式を満たす。
(2) f(x)=a (aは0以外の任意の実数の定数)は与えられた微分方程式を満たさないのでf(x)≠0、f'(x)≠0とする。
{1/f(x)}^2=1/f'(x)…(A)
{1/f(x)}'=-f'(x)/{f(x)}^2 より
{-1/f(x)}'=1とすると、{-1/f(x)}'=f'(x)/{f(x)}^2
f'(x)/{f(x)}^2=1
1/{f(x)}^2=1/f'(x) よって(A)と同じ式になる。
なので{-1/f(x)}'=1の両辺を積分して
-1/f(x)=x+C (Cは任意定数)
f(x)=-1/(x+C) となる。
(1),(2)より、一般解はf(x)=-1/(x+C)、特殊解はf(x)=0である。
これでOKでしょうか?
この解き方が正しいか教えていただきたいですm(__)m

A 回答 (2件)

正しいと思います。



教科書的にいえば、変数分離型です。
  y^2 = dy/dx
と書けるので、
  dy/y^2 = dx
と変形でき、両辺を積分すれば、
  -1/y = x+C
が得られる、というわけです。
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この回答へのお礼

遅くなってしまって申し訳ありません。回答していただきありがとうございます。

お礼日時:2007/07/24 00:09

一般解はf(x)=-1/(x+C)で良いですが,f(x)=0は特殊解ではありません.


特殊解というのは,一般解の積分定数 C に特別な数値を与えた解です.
f(x)=0が特殊解だとするとf(x)=-1/(x+C)から 0=-1/(x+C) となり,
0・(x+C)=-1,ゆえに 0=-1 となり,矛盾です.与えられた常微分方程式の
特殊解とは f(x)=-1/x や f(x)=-1/(x+1) などのことをいいます.
あなたが (1)に f(x)=0 と書かれており,(2)に f(x)≠0 と書かれていること自体が矛盾です.また,(1)で勝手に f(x)=0 と置いたことも誤りです.
なぜならば,与えられた常微分方程式に f(x)=0 という解は存在しません.
なぜならば,一般解 f(x)=-1/(x+C) は x と C に如何なる数を与えても 0 にはならないからです.
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この回答へのお礼

遅くなってしまって申し訳ありません。回答していただきありがとうございます。

お礼日時:2007/07/24 00:10

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