確率密度を求める問題（基本的・・・）

確率の勉強を始めたばかりで、基本的なことがわかってません。

確率変数Ｘの密度関数が、f(x)＝{3x^2,(0<x<1)　0,(その他)}
であるとき、Ｙ=1-Ｘ^2の密度関数を求めよ

という問題を出されたのですが、イメージが湧かないので離散型に置きかえて
自分なりに考えてみました。以下の考え方でいいのでしょうか。それともピントが
ずれてるのでしょうか。また、実際の答えはどうなるのでしょうか？

f(x)dxは、各階級における発生確率を求める関数なので、離散型っぽく
書くと下のようになる。そして、Ｙは、1-Ｘ^2であるから、Ｘが一様に起こる
確率変数だとしたら3列目のようになるが、実際はＸの発生確率はf(x)dxで
あるから、1-Ｘ^2で求まる値にf(x)dxを乗じなくてはならない。
これを最後に、全体が100％として補正した値が1-Ｘ^2の確率密度(的)となる。

X　　f(x)dx　Y=1-X^2　　f(x)dx*Y　　p
0　　　0.0%　　100.0%　　0.0%　　　0.0%
0.1　　0.3%　　99.0%　　　0.3%　　0.8%
0.2　　1.2%　　96.0%　　　1.2%　　2.9%
0.3　　2.7%　　91.0%　　　2.5%　　6.2%
0.4　　4.8%　　84.0%　　　4.0%　　10.2%
0.5　　7.5%　　75.0%　　　5.6%　　14.2%
0.6　　10.8%　　64.0%　　6.9%　　　17.5%
0.7　　14.7%　　51.0%　　7.5%　　　19.0%
0.8　　19.2%　　19.0%　　4.6%　　　11.7%
1　　　30.0%　　0.0%　　　0.0%　　　0.0%

No.2 ベストアンサー 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/07/12 14:42

＃１です。

質問者さんが「お礼」に書かれた計算方法は、完全に合っています。
間違いの原因は、私が実際に計算を行わず、アイディアだけお示しした点にあります。どうもすみません。

当然、f(x)、F(y) は、負にならない関数です。ところが、本問の場合、x と y は、互いに単調減少ですから、dx とdy は、常に符号が逆になります。それゆえ
｜F(y)dy｜＝｜f(x)dx｜、あるいは
F(y)dy ＝ －f(x)dx
と書くべきでした。

なお、確率密度関数を求める問題の場合、もしできれば、最後に定積分を計算して、面積が１になることを確かめておきましょう。

この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。

アイディアをいただいておきながら、私が本質を理解できずに、ただあてはめてしまったことが原因です。
申し訳ありません。

確かに、dx とdy は常に符号が逆になるので、確率密度関数が負になってしまい、
｜F(y)dy｜＝｜f(x)dx｜、あるいはF(y)dy ＝ －f(x)dxとすると
　F(y)　=　3/2(1-y)^1/2
となり、この確率密度関数について、yを1→0の範囲で積分すると1になりました。

私にとってなかなかイメージすることが難しい確率ですが、
Ishiwaraさんに教えていただいた解法はスムーズで覚えやすいです。

今後ともどうぞよろしくお願いいたします。

お礼日時：2007/07/13 00:41

No.1 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/07/09 12:02

連続分布を離散型に置き換えて考えることは、話をかえってややこしくします。

あくまで、連続分布の中で考えるべきです。

y の確率密度関数を F とすれば、dx という微小区間の生起確率 fdx は、dy という微小区間の生起確率 Fdy と等しいはずです。

したがって、Fdy = fdx を解いて（つまり x を消去して）F を求めれば、答が出るはずです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
Ishiwaraさんのご回答を受けて自分なりに考えてみましたが、どうもよくわかっていないようです。。。

>Fdy = fdxを解いて（つまりxを消去して）Fを求めれば、答が出るはずです

　Fdy　=　fdx
　F・dy/dx　=　f　・・・A
ここで
　y　=　1-x^2
　x　=　√1-y (0<x<1)　・・・B
　dy/dx　=　-2x=-2√1-y　・・・C(Bを代入)
B,CをA式に代入して
　F・-2√1-y　=　f(√1-y)
　F　=　1/-2√1-y・f(√1-y)　=　1/-2√1-y・3(√1-y)^2
　F　=　-3/2(1-y)^1/2

となり、密度関数がマイナスとなってしまいます。
どこかが間違ってるのでしょうが、何がいけないのでしょうか？
すみませんが教えていただければと思います。どうぞよろしくお願いいたします。

お礼日時：2007/07/11 23:36