確率密度関数の期待値の足し引きの質問です。

独立な確率変数X1,X2,…Xn
それぞれ同一の確率密度関数
f(x)=2x (x=0~2の時)
（それ以外では0）

Y=X1+X2+X3-X4
のとき、E(Y)は？

E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)-E(X4)=2×E(X1)

で良いのでしょうか？
なぜか先生は、3×E(X1)と仰ってたのですが…。なぜなのか分かりません。

質問者からの補足コメント

• 

  E(Y)というのは、Yの期待値の意味で書きました。
  f(x)=2x (x=0~2の時)（それ以外の -∞ ≦ｘ≦ 0、２≦ x ≦ +∞ではf(x)=0です。）
  Y=X1+X2+X3-X4のとき、E(Y)（つまり、Yの期待値）は？
  
  という問題です。
  
  E(X1)=∫(0~2) [ x * 2x ]dx=2* [ (1/3) x^3 ](0~2)=2*(1/3)* 2^3=16/3
  
  E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)-E(X4)
  =E(X1)+E(X1)+E(X1)-E(X1)
  =2E(X1)　　
  =2*16/3
  =32/3
  が答えで良いのでしょうか？

    補足日時：2015/12/24 08:33

• 

  E(Y)というのは、Yの期待値の意味で書きました。
  f(x)=2x (x=0~2の時)（それ以外の -∞ ≦ｘ≦ 0、２≦ x ≦ +∞ではf(x)=0です。）
  Y=X1+X2+X3-X4のとき、E(Y)（つまり、Yの期待値）は？
  
  という問題です。
  
  E(X1)=∫(0~2) [ x * 2x ]dx=2* [ (1/3) x^3 ](0~2)=2*(1/3)* 2^3=16/3
  
  E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)-E(X4)
  =E(X1)+E(X1)+E(X1)-E(X1)
  =2E(X1)　　
  =2*16/3
  =32/3
  が答えで良いのでしょうか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/24 08:34

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/12/24 12:43

No.2&3です。

「補足」に書かれたことについて。

＞E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)-E(X4)
＞=E(X1)+E(X1)+E(X1)-E(X1)
＞=2E(X1)　　
＞=2*16/3
＞=32/3
＞が答えで良いのでしょうか？

No.2に書いたように、これはあり得ません。

まず。与えられた確率密度関数
f(x)=2x (x=0~2の時)
（それ以外では0）
は、０～２で積分すると
　　∫(0~2)2xdx=[x^2](0~2) = 4
で「確率の全合計は1」になるはずなのに、そうなっていません。
　つまり「f(x)=2x」は確率密度関数ではありません。

　この分布形を「確率密度関数」にすると、No.2に書いたように
　　g(x) = f(x)/4 = x/2
になると思います。これなら０～２で積分すると「1」になります。

　さらに、No.2にも書いたように、Y=X1+X2+X3-X4 では
　　E(Y) = E(X1 + X2 + X3 - X4)
ということであって、
　　E(Y) = E(X1)+E(X2)+E(X3)-E(X4)
にはなりません。
　ここでは
　　Y=X1+X2+X3-X4　（-2 ≦ Y ≦ 6)
の確率密度関数がどうなるか、というのがポイントです。


　正確かどうかは分かりませんが、ちょっとやってみます。
　まず、 Y の値の分布を考えると、X1, X2, X3, X4 が各々０～２の範囲なので、Y は -2～6 の範囲に分布します。
（X1=X2=X3=0 かつ X4=2、あるいは X1=X2=X3=2 かつ X4=0 ということもあり得ますから）
　Y の確率分布の形は

　　Y1 = X1+X2+X3　は、f1(Y) = 2Y（0 ≦ ｘ ≦ 6)
　　Y2 = -X4　は、f2(Y) = 16 - 2Y （6 < Y ≦ 8)

のような形になりそうです。（ここ直感です。どう求めればよいのか、詳しい方がいればお願いします）
　ということで、Y = Y1 + Y2 の分布は、Y の範囲を移動して

　　f(Y) = 2Y + 4（-2 ≦ Y ≦ 4)
　　f(Y) = 20 - 2Y （4 < Y ≦ 6)

これを -2 ≦ Y ≦ 6 で積分すると「1」になるように規格化すると、確率密度関数は
　　H(Y) = (Y + 2) / 28（-2 ≦ Y ≦ 4)
　　H(Y) = (10 - Y) / 28（4 < Y ≦ 6)

これで Y の期待値を計算すると
　　E(Y) = (1/28)∫(-2~4)Y*(Y + 2)dY + (1/28)∫(4~6)Y*(10 - Y)dY
　　　　= 64/21
となります。

　計算間違えをしているかもしれませんが、「約3」ということですね。
　先生が言ったのは、「3×E(X1)」ということではなく、「おおよそ3」だったのではありませんか？

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/24 00:20

「なぜか先生は、3×E(X1)と仰ってたのですが…。

なぜなのか分かりません。」
っていうなら, その当人に聞けばいいのでは?

なお, https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9136431.html
の #2 にあるように
f(x)=2x (x=0~2の時)
（それ以外では0）
は確率密度関数ではないので問題そのものがおかしい.

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/12/23 20:42

No.2です。

後半の
　　Y=X1+X2+X3-X4
以降は、またまた頓珍漢なことを書いていましたね。

　ポイントは、X1, X2, X3, X4 が各々
　　f(x) = 2x ( x=0~2 )
で確率分布するときに、それを加減算した結果の
　　Y=X1+X2+X3-X4
がどんな確率分布をするか、ということですね。
　正規分布は何の関係もありませんね。

　Yの確率分布 H(Y) が分かれば、
　　Y * H(Y)
を積分して期待値が求められます。

　すぐには無理そうなので、少し考えてみます。

　詳しい方に正確な回答をしていただければよいのですが。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/12/23 10:59

No.1です。

すみません、ぼけてました。
No.1は破棄してください。

f(x) は確率「密度」ですね。
区間 0~2 で積分して「1」になるように規格化すると、
　　C * ∫(0~2) [ f(x) ] dx = 1
　　∫(0~2) [ f(x) ] dx = ∫(0~2) [ 2x ] dx = [ x^2 ](0~2) = 4
なので C = 1/4
　つまり、確率変数が x となる確率は
　　g(x) = f(x)/4 = x/2
かな？

ですから、「期待値」は「確率変数が x となる確率」に「値 x 」をかけて、
　　x * g(x)
ですね。これを 0~2 で積分して
　 ∫(0~2) [ x * g(x) ]dx
　= ∫(0~2) [ x^2 / 2 ]dx
　= [ (1/6) x^3 ](0~2)
　= (1/6)*8
　= 4/3

つまり
　　E(X1) = E(X2) = E(X3) = E(X4) = 4/3
ですね。

また、変数
　　Y=X1+X2+X3-X4
は、X1, X2, X3, X4 がランダムであれば、各々正規分布しますから、平均値「２」を中心に分布しますね。
このうちの 0~2 の範囲で、上記の g(x) と掛け合わせて積分すれば、E(Y) が求まると思います。

少なくとも、
　　E(Y) ≠ E(X1)+E(X2)+E(X3)-E(X4)
であることは確かです。

時間がないので、とりあえずここまで。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/12/23 10:19

E(Y) とは何ですか？　定義を書いてください。

その分野では当然のことなのかもしれませんが。
多分「期待値」かな、とは思いますが。

また、条件として X1, X2, ･･･ Xn はすべて独立・ランダムで、
　　0 ≦ Xk ≦ 2
ですか？　それとも　-∞ ≦ Xn ≦ ∞ ？
あるいは、それ以外の範囲や条件が与えられていますか？
（たとえば　X1 > X2 > X3 > X4 とか）

0 ≦ Xk ≦ 2 で独立・ランダムなら、その期待値は
　　E(X1) = E(X2) = E(X3) = E(X4) = 1
ですから、質問者さんの考えでよいと思います。