nを3以上の整数とする。2n個の整数1，2，3，••••••，2nから無作為に異なる3個の数を選ぶと

nを3以上の整数とする。2n個の整数1，2，3，••••••，2nから無作為に異なる3個の数を選ぶとき，3個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ。

という問題の解説にこのようなものがあったのですが、①について、d+1≦k2n-3からなぜkが(2n-2d)個ということがわかるんでしょうか？
その不等式からだとkの範囲は2n-3-(d+1)=2n-4-dでは？
また、②について、公差dの範囲が最低1なのは理解できますが、なぜ最大n-1なんですか？dがn-1のとき等差数列は1，2nで、異なる3個の数を並べられないと思うんですけど。



公差dの範囲を考えると1以上(n-1)以下になる。

取り出した3つの数がk-d，k，k+dとなる場合の数を求める。

k-dは１以上。k+dは2n以下。

よって、kの範囲は　d+1≦k≦2n-d となり，コレを満たすkは(2n-2d)個。・・・・・・①

(2n-2d)をdについて、1から(n-1)までシグマ計算を行うと，場合の数が求まる。・・・・・・②

計算結果は、n(n-1)

何も考えずに３つの数を取り出す場合の数は2nC3通りなので、求める確率は3/(4n-2)

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/10/21 00:30

k-d≧1 より、k≧d+1

k+d≦2n より、k≦2n-d
よって、d+1≦k≦2n-d
ｋが１から (2n-d) までならば (2n-d) 個 ですが、
ｋが (d+1) から (2n-d) までなので、１からｄまでのｄ個がないので、
(2n-d)-d=(2n-2d) 個です。

d=n-1 のとき、等差数列は、
1 , 1+(n-1)=n , n+(n-1)=2n-1
2 , 2+(n-1)=n+1 , n+1+(n-1)=2n