nを3以上の整数とする。2n個の整数1,2,3,••••••,2nから無作為に異なる3個の数を選ぶとき,3個の数を小さい順に並べた数列が,等差数列である確率を求めよ。
という問題の解説にこのようなものがあったのですが、①について、d+1≦k2n-3からなぜkが(2n-2d)個ということがわかるんでしょうか?
その不等式からだとkの範囲は2n-3-(d+1)=2n-4-dでは?
また、②について、公差dの範囲が最低1なのは理解できますが、なぜ最大n-1なんですか?dがn-1のとき等差数列は1,2nで、異なる3個の数を並べられないと思うんですけど。
公差dの範囲を考えると1以上(n-1)以下になる。
取り出した3つの数がk-d,k,k+dとなる場合の数を求める。
k-dは1以上。k+dは2n以下。
よって、kの範囲は d+1≦k≦2n-d となり,コレを満たすkは(2n-2d)個。・・・・・・①
(2n-2d)をdについて、1から(n-1)までシグマ計算を行うと,場合の数が求まる。・・・・・・②
計算結果は、n(n-1)
何も考えずに3つの数を取り出す場合の数は2nC3通りなので、求める確率は3/(4n-2)
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