No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1.確率変数 x1, x2, …,xn の同時密度関数が f(x1,x2,…,xn)で
y1 = y1(x1, x2, …,xn)
:
:
yn = yn(x1, x2, …,xn)
と変数変換するとy1, y2, …,ynの同時密度関数は
f(x1(y1, …,yn),…,xn(y1,…,yn)) D(x1,…,xn)/D(y1,…,yn)
で与えられます。ここでD(x1,…,xn)/D(y1,…,yn)はヤコビアンです。
2.回答の内容はn=3、m=2の場合です。
3.たとえばn=4,m=3の場合、
確率変数x,y,z,u が0≦x<y<z<u となる状況を考え、
a = x + y+z
b = y - z
と変数変換してa,b,z,uの同時密度を求め、0≦x<y<z<u に相当する部分をb,z,uについて積分するとaの密度関数が求まります。「小さいほうの三つの和がaになる分布」はこれの 4! = 12 倍です。
No.4
- 回答日時:
下の回答で「 4! = 12 倍」は「 4! = 24 倍」に訂正します。
No.2
- 回答日時:
n=mの場合はガンマ分布であり、nが無限大の極限が正規分布だと思います。
簡単のためλ=1 とします。三つの独立な確率変数x,y,z が指数分布に従い、0≦x<y<z となる状況を考えます。
a = x + y
b = x - y
と変数変換すると上記の条件は
a ≧0 , -a ≦b ≦0 , z >(a-b)/2
と書けます。ヤコビアンがD(x,y)/D(a,b)= -1/2 なのでa,b,z の同時確率密度関数は
f(a,b,z)= (1/2)exp(-(a+z))
aの密度関数を求めるには、これをzとbで積分して
f(a) = ∫[-a~0] db∫[(a-b)/2~∞] dz f(a,b,z)
= exp(-3a/2) - exp(-2a)
コンピュータでシミュレーションしてこれが正しいことを確認しました。ラムダを復活したければ
f(a) = λ[exp(-3λa/2) - exp(-2λa)]
とすれば良いでしょう。「小さいほうの二つの和がaになる分布」はこれの 3! = 6 倍です。nやmがもっと大きい場合も同様にできるでしょう。
この回答への補足
回答ありがとうございました。
確かに仰る通りnが無限大の極値が正規分布です。中心極限定理の意味を間違って理解していました。
もし宜しければ次の3点について教えてください。
1.a,b,z の同時確率密度関数は f(a,b,z)= (1/2)exp(-(a+z))
はどのようにして出てきた式でしょうか?
2.回答の内容はn=3、m=2の場合と解釈して良いのでしょうか?
3.nやmがもっと大きい場合への拡張はどのようにするのでしょう か?
以上申し訳ありませんがお願いいたします。
No.1
- 回答日時:
確率密度関数 f(x)に従うn個のサンプルをランダムに取った時、それらn個の中に「その値がXより小さいようなサンプルが丁度m個ある」という事象が生じる確率をPm(X)とすると、
Pm(X) = nCm ((∫f(x)dx [x=X~∞])^(n-m))((∫f(x)dx [x=0~X])^m)
じゃないかな。(nCm はcombination。[x=…]は定積分の積分範囲を示します。)
で、「その値がXより小さいようなサンプルが丁度m個ある」場合に限定して考えると、これらm個のサンプルそれぞれについて、その値xは
g(x,X) =
0≦x≦Xのとき…f(x)/(∫f(x)dx [x=0~X])
それ以外のとき…0
という確率密度関数に従っているわけです。このことから、これらm個のサンプルの和sの分布w(s,X)が(g(x,X)*g(x,X)*…*g(x,X)というm項の畳み込み積分になるから大変ですが)計算できるでしょう。
そして、X∈(0, ∞)について、w(s,X)をPm(X)の重み付きで積分したものが、ご質問の、「小さい方からm個の和」sの分布
Qm(s) = ∫Pm(X)w(s,X)dx [x=0~∞]
でしょう。
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