統計学の基礎3

「確率変数 X,Y の同時密度関数が，
f(x,y)＝c(1+6(x^2)y), (0＜x, y＜1)
(1)定数 c の値を求めよ．
(2)X,Y の周辺密度関数 f1(x), f2(y)を求めよ．
(3)X,Y の平均，分散，相関係数を求めよ。」
解説よろしくお願いします．

質問者からの補足コメント

• c を求める過程ですが，どうも答えが出なさそうです．どこが間違っているでしょうか．

  
    補足日時：2020/06/24 14:11

• 度々すみません．
  (1)〜(3)の分散までは理解して解くことができました．
  (3) の相関係数です．共分散公式を用いて
  (共分散)＝E(XY)-E(X)E(Y)
  が求められました．
  ここで，E(X)＝μx, E(Y)＝μy ということは分かるのですが，E(XY)＝？？？
  状態です．
  E(XY)＝E(X)E(Y) ではと思ったのですが，これだと共分散が 0 になってしまいます．

    補足日時：2020/06/25 00:30

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/25 09:32

No.2 です。

「補足」その２を見ました。

＞(1)〜(3)の分散までは理解して解くことができました．

それはよかったです。

＞共分散公式を用いて
＞(共分散)＝E(XY)-E(X)E(Y)
＞が求められました．
＞E(XY)＝？？？
＞状態です．

要するに「求められていない」ということですね？

期待値の定義が分かっていれば、期待値は「実現値」と「その確率」の積を全範囲で積分（積算）したものですから

　E[XY] = ∫∫[xy*f(x,y)]dxdy

で計算できることは分かりますよね？

計算すれは「3/8」かな。
そうすれば
　共分散 = 3/8 - (5/8)(7/12) = 3/8 - 35/96 = 1/96
かな？

この回答へのお礼

期待値の説明を改めて言葉で聞くとスーッと理解出来ました．何度もお答えいただき本当にありがとうございました．

お礼日時：2020/06/25 09:46

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/25 01:03

E(XY) は「XY の平均」. X と Y が独立なら E(XY) = E(X)E(Y) だが独立でなければそうはならない.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/24 15:58

No.1 です。

0<x, y<1 は「0<x<1 かつ 0<y<1」の意味ですよね？

なので

　∫f(x, y)dxdy = c∫[0, 1]{∫[0,1][1 + 6x^2･y]dy}dx
= c∫[0, 1]{[y + 3x^2･y^2][0,1]}dx
= c∫[0, 1]{1 + 3x^2}dx
= c[x + x^3][0, 1]
= 2c

これが全確率 1 に等しいので
　c = 1/2

かと思います。

この回答へのお礼

勘違いしてました…
ありがとうございます．

お礼日時：2020/06/24 16:16

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/24 09:31

丸投げはいかんよ。

どこまで勉強して、何が分からんのかな？

「確率密度関数」とは何なのか、理解できているのかな？
その「２変数」の場合ですよ。