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ある製品に使われている LED 部品の寿命時間・Xの母集団分布は,指数分布に従っているものとする。このとき、次の間
いに答えなさい
[1] この母集団から7個の標本 (x1、x2.... x7)が与えられたときの充度関数を記載せよ。
[2] この LED 部品について、以下に示す7個の寿命時間に関するデータを得たときの最尤推定値λを求め,このときの指数分
布の平均値を推定せよ。

この問題の解説と答えを教えてください。

A 回答 (2件)

本問において、μ=1/λの関係は、たぶん証明無しで使って良いと思います。



証明はこちら↓

https://ai-trend.jp/basic-study/exponential-dist …

定石通り、1次の積率を使って証明しています。
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指数分布の確率密度関数は、


f(x,λ)=λ・exp(ーλx)
ここで、λ=1/μの関係があります。
つまり、λを最尤推定すれば、その逆数が平均になります。

[1]
尤度関数は、同時確率ですから、
L(λ|x)=λ^7・{exp(ーλx1)・exp(ーλx2)・exp(ーλx3)・exp(ーλx4)・exp(ーλx5)・exp(ーλx6)・exp(ーλx7)}
=λ^7・exp(ーλ・Σxi)・・・・①
サンメンションの範囲は省略しましたが、分かりますよね。

ただし、この状態で最尤推定(λで微分し0と置いてLの極大値を与えるλを解く)は困難ですので、対数尤度に置き替えます。

log{L(λ|x)}=7log(λ)ーλ・Σxi・・・・②

たぶん、[1]の回答は①で良いと思います。対数の語句が見られませんから。ただ統計屋の常識としては②を書きますがね。

[2]
∂(L(λ|x))/∂λ=7/λーΣxi ですから、これを0と置いて、

7/λーΣxi=0
7/λ=Σxi
∴λ=7/Σxi

最初に述べたように、平均μはλの逆数ですから、
μ=Σxi/7

μは標本平均に一致します。
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