統計学で、確率変数変換後の期待値の式がわからない

確率変数Xが確率密度f(x)の確率分布にしたがうとき、
E(X)=∫[-∞~∞]xf(x)dx・・・（あ）と定義され、
新たな確率変数YをY=aX+bと定義したとき、
E[Y]=∫[-∞~∞](ax+b)f(x)dx・・・（い）
らしいです。
また、手元の参考書には確率変数を変換すると確率密度も変わると書いてあります。

ではなぜ（い）の式で確率密度が（あ）と同じf(x)のままなんでしょうか？？？

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/07/04 21:37

訂正　yの範囲は7≦y≦40 → yの範囲は7≦y≦47

No.1 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/07/04 21:35

Yの確率密度をg(y)と書くとすると、Yの期待値はこのg(y)を使って、

E(Y]=∫[-∞~∞]yg(y)dy となります。
これが、∫[-∞~∞] (ax+b)f(x)dx　と等しいよということです。

例
f(x)=0.1 0≦x≦10 その以外ではf(x)=0とします。
Y=4X+7 とおくと yの範囲は7≦y≦40
g(y)=f(x)dx/dy　で与えられるから、dx/dyを求めると、X=(Y-7)/4から　dx/dy=1/4
よってg(y)=0.1*1/4=0.025
∫[-∞~∞]g(y)dy=∫[7~47]0.025dy=1　で全領域で積分すると1となる。
期待値は E(Y]=∫[7~47] y・0.025dy=0.0125*47^2-0.0125*7^2=27
もとのE(X]=∫[0~10] x・0.1dx=0.05*10^2=5　なので
当然ながら　E(Y)=4E(X]+7=27　となり一致します。