連続型確率変数について

以下の部分が良くわかりません。
なぜ、確率密度関数は０≦ｘ≦１の範囲のときに１となるのでしょうか。1ならば常にそれに刺さるということになりませんか。

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。
  途中までは理解できましたが、なお書き以下の所が判りません。
  なぜa=1/bになるのでしょうか。
  お手数おかけして申し訳ありません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/04/13 07:38

• 

  yhr2さん
  
  丁寧な回答ありがとうございます。
  何となく理解はできたのですが、統計学を「単位は取れる統計ノート」という本で独学で学んでいるものですから、まだ自分の中でつながっていないような感じがします。
  よろしければ、初心者でも理解できる統計学の本をご存知でしたら教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2018/04/13 20:16

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/13 23:21

No.4です。

「補足」に書かれたことについて。

＞よろしければ、初心者でも理解できる統計学の本をご存知でしたら教えて頂けないでしょうか。

今回のご質問は、「統計」というよりは「確率論」「関数論」ですね。これらは「統計」の中では「数学寄り」のものですよね。

「統計学」には「記述統計学」（データの処理、分析）と「推測統計学」（得られたデータから論理的に未知の事象を推定）があり、この「確率論」「関数論」は「記述統計」に属すると思います。
https://to-kei.net/basic/inductive-statistics/

「確率・統計」の入門用としては、こんな本がよいのではないでしょうか。私は読んではいませんが。

「マセマ」シリーズの「確率統計」
https://www.amazon.co.jp/%E5%88%9D%E3%82%81%E3%8 …

小針アキ宏「確率・統計入門」
https://www.amazon.co.jp/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%8 …

質問者さんが何のために統計学を学ぶのか分かりませんが、標本データから母集団を推定したり、得られたデータから何かを「検定」することが目的なら、「確率・統計」よりも「推測統計学」の方に比重を置いた方がよいと思います。
とりあえずの入門はこの本がピカイチかと思います。

小島 寛之「完全独習 統計学入門」
https://www.amazon.co.jp/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%8 …

この回答へのお礼

大変参考になりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2018/04/13 23:41

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/13 10:13

No.3です。

少し補足。

#2 さんのおっしゃるように、「確率分布」と「確率密度関数」の違いを、しっかり復習してください。
「連続型」の場合には「確率分布」は定義できないのです。
たとえば↓
http://hs-www.hyogo-dai.ac.jp/~kawano/HStat/?201 …
http://dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/error/node15 …

なお、No.1に書いた「分布関数」は「確率」とは関係なく、たとえば「0～1の書かれた数字を引いたら当たり100万円、それ以外は外れ」という場合には、もらえる金額 f(x) は
　f(x) = 100万円　at 0≦x≦1
　f(x) = 0　　at -∞～x<0, 1<x～+∞
になるようなイメージです。これだと、当たり件数が決まらないので「景品総額」や「確率」は定義できません。従って「確率分布」が書けません。

これを実際の「くじ」のように、たとえば「x を6桁の自然数」として「離散型」にすれば、「もらえる金額の分布」は（000,000～000,009 を当たり、それ以外を外れとして）
　F(x) = 100万円　at 0≦x≦9
　F(x) = 0　　at 10≦x≦999,999
になります。
この場合には「当たりは10本、景品総額は 1,000万円」と決まるので、「当たる」確率分布として
　F(x) = 1/10　at 0≦x≦9
　F(x) = 0　　at 10≦x≦999,999
と書けます。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/13 09:06

No.1 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞なぜa=1/bになるのでしょうか。

　g(x) = a　(0 < a)　at 0≦x≦b (0<b)
　g(x) = 0　　at -∞～x<0, b<x～+∞

で
　∫[-∞～+∞]g(x)dx
を計算してみれば

　∫[-∞～+∞]g(x)dx
= ∫[-∞～0]g(x)dx + ∫[0～b]g(x)dx + ∫[b～+∞]g(x)dx
= ∫[-∞～0]0dx + ∫[0～b]adx + ∫[b～+∞]0dx　　　←第１項、第３項はゼロ
= ∫[0～b]adx
= [ax][0～b]
= ab

これが「1 に等しい」ので
　ab = 1
b≠0 なので
　a = 1/b
になります。

「確率密度」をすべて合計すれば「１」になる、という「確率密度」の定義です。


ちなみに、No.1 の

＞ただし「確率密度関数」となると、「確率」である以上
＞　∫[-∞～+∞]f(x) = 1
＞でなければならないので、

の式では、「dx」が抜けていました。正しくは
　　∫[-∞～+∞]f(x)dx = 1
ですので訂正します。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/12 23:51

「確率密度」と「確率」の区別はちゃんとした方がいいと思う.

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2018/04/13 23:41

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/12 20:32

＞なぜ、確率密度関数は０≦ｘ≦１の範囲のときに１となるのでしょうか。

「なぜ」と言われても、「そういう確率密度分布にした」もしくは「そういう確率密度分布になっている」からです。

ただの「分布関数」であれば
　f(x) = a　(0 < a)　at 0≦x≦1
　f(x) = 0　　at -∞～x<0, 1<x～+∞
でよいのです。a は 0 以外のどんな正の値であってもよいのです。

ただし「確率密度関数」となると、「確率」である以上
　∫[-∞～+∞]f(x) = 1
でなければならないので、これで a の値は必然的に
　a = 1
にならざるを得ないのです。

なお「値が１となる」のは、「０≦ｘ≦１の範囲のみゼロでない値」だからということです。
確率密度関数の「ゼロでない範囲」が
　g(x) = a　(0 < a)　at 0≦x≦b (0<b)
　g(x) = 0　　at -∞～x<0, b<x～+∞
だとすると
　a = 1/b
になることは分かりますか？