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w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。
という問題です。
この問題を解くにあたり、初めて複素関数の勉強をしました。
本を借りてきて調べると、どうやら虚軸または実軸に接する円になる、
というところまでは分かったのですが、円の中心と半径がどのように
なるのかがよく分かりません。
この問題だと、円の中心と半径を求めろということだと思うのですが、
それでいいんですよね?
解き方を教えてください。
よろしくお願いしますm(_ _)m
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
z=a+iy
w=u+iv
=1/z=1/(a+iy)=(a-iy)/(a^2+y^2)
u=a/(a^2+y^2)
v=-y/(a^2+y^2)
u^2+v^2=1/(a^2+y^2)=u/a
{u-(1/2a)}^2+v^2=(1/2a)^2
w平面上のw=u+ivの実部uと虚部vの間に円の方程式の関係あり、
x平面上のx=a(実部一定)の直線がw平面上では円に写像されると言うわけです。円の中心zo=1/(2a)+i(0)、半径1/(2a)の円ですね。
No.1
- 回答日時:
>w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。
z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。おそらく z-平面上の直線とは、
z = a+iy (a>0)
のことなのでしょう。しかし「初めての複素関数」にしては手ごわいですよ。
まず、写像の式を変形します。
w = 1/z = 1/(a+iy) = (1/2a)*{1+(a-iy)/(a+iy)}
以下の写像(処理)を確認してください。
(a-iy)/(a+iy) :w-平面上の単位円(A)
1+(a-iy)/(a+iy) :単位円(A)の中心をw-平面上の実軸上 u=1 へ移動(B)
(1/2a)*{1+(a-iy)/(a+iy)} :(B)の w-平面のスケールを(1/2a)倍
(a-iy)/(a+iy) が単位円というのを知らないと、式変形すらできません。
(a-iy)/(a+iy)は単位円なのですか。。。
なかなか複素関数、簡単ではなさそうです。。。
これからも勉強していきます!
ありがとうございました!!
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