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行列式についての質問です。

n次正方行列Aに対して、|A|=|-A|が成り立つのはAがどのような行列のときなのでしょうか。
教えていただきたいですm(__)m

A 回答 (1件)

行列式の定義はご存知だと思いますが,


|A| = Σ sgn(σ)A_{1σ1}A_{2σ2}…A_{3σn}
ですね.(和はn 次の置換全体でとって,sgn は置換の符号)
よって,
|-A|
= Σ sgn(σ)(-A_{1σ1})(-A_{2σ2})…(-A_{3σn})
= (-1)^n Σ sgn(σ)A_{1σ1}A_{2σ2}…A_{3σn}  
= (-1)^n |A|
よって,
nが偶数の場合は任意の行列Aに対して |A| = |-A|で,
奇数の場合は0の行列式を持つ行列のみが|A|=|-A|=0です.
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