等加速度運動の公式の導出法を教えてください（積分を使わずに）

現在高校生の家庭教師をしているものです。
生徒に対して、物理の序盤で出てくる『x=v0t + at^2/2』の公式を積分をつかって導出してみたのですが、まだ微分積分を習ってないようで、困らせてしまいました。

この公式を積分を使わずに導出するにはどうしたらよいでしょうか？
お力を貸してください。

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2007/08/07 00:40

グラフを書けばいいのではないでしょうか。

横軸時間、縦軸速度
直線とｘ軸で囲まれる面積が進んだ距離です。
三角形部分が(at)^2/2、長方形部分がv0tですね。
結局は絵で積分してるんですけどね。

No.2 回答者： ymmasayan 回答日時： 2007/08/07 00:45

No.1です。

ミスしました。

>　三角形部分が(at)^2/2、長方形部分がv0tですね。
　　　　　　↓
　三角形部分がat^2/2、長方形部分がv0tですね。
が正しいです。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。

なるほどとは思いましただ、やはりグラフの面積に帰着してしまうとその説明が苦しくなってしまいます。

逆に面積と変位の関係はどう説明したらよいでしょうか？
記録タイマーで点をつけたテープなどを使って行うことしか思いつきません。

補足日時：2007/08/07 00:56

No.3 回答者： connykelly 回答日時： 2007/08/07 07:36

ymmasayanさんのご回答の補足です。

ココ↓の第1章5分かり安く図入りで説明されていますのでご参照されては。
http://yasumoto.iuhw.ac.jp/HS_phys/HS_phys_top.htm

参考URL：http://yasumoto.iuhw.ac.jp/HS_phys/HS_phys_top.htm

No.4 回答者： pigbear 回答日時： 2007/08/07 09:48

はじめに、等速運動のv-tグラフを一緒に眺めながら、距離が、グラフと軸が挟む領域の面積になることをなっとくさせる。

これには、なぜとはいわないとおもいます。
距離＝速度（たて）×時間（よこ）だ。
右辺は確かにここの面積になってるぞ。
という具合に。

次に、等加速度運動でも、距離が面積になることは「きっと同じだろうから」と、証明ぬきに乱暴に一般化をうながし、面積をもとめてやるつもりで式を作ってみようと誘い、
距離（面積）＝{はじめの速度（上底）＋距離を求めたい時間の速度（下底）}×時間（高さ）÷２
ほら、この式ができあがるよ。という感じで、等速運動のグラフ説明とうまく接続してあげたらどうでしょう。

あやしい響きになりましたが（笑）、上記の乱暴な一般化は、自然な発想だとはおもいます。とりあえず合点がいくようにしてあげられる気がします。

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2007/08/08 02:02

＃２さんへの補足の

「やはりグラフの面積に帰着してしまうとその説明が苦しくなってしまいます。」
には同感です。
私も高校時代、台形の面積がなぜ距離（変位）になるのかのイメージが湧かず、
もやっと感が晴れたのは、微積分を学んでからでした。

下記リンクのように、「平均速度」という考え方で教えるのはいかがでしょうか。
http://homepage1.nifty.com/scilla/kasetu/tikara/ …
三角形で初速ゼロの説明をした後に、台形で初速≠０の説明をするとよいと思います。