数値解析の参考図書で良いものがあれば教えて下さい。
できれば、
○分厚くても詳しいもので辞書的にも使えるもの(啓蒙書の類ではないです)。
○非線型問題に詳しいもの(非線型専門でもいいです)。

ちなみに、基本的な問題(Newton法、Gauss法など一般的な数値解析の教科書にあるもの)に詳しいものは数冊、既に手元にありますので。

#非線型な問題に関する専門書で良いものがなかなかなくて困ってます。

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A 回答 (2件)

 大野豊・磯田和男監修「新版 数値計算ハンドブック」オーム社、1990.(ISBN4-274-07584-2)はいかがでしょうか?


 非線形の専門書ではありませんが、フローチャートやプログラムの記載にけっこうページを割いています。第6章が非線形方程式の章ですが、ご希望に沿うかどうかはご自分で確認していただくとして、第6章の節項をご参考までに。
6・1 低次代数方程式
 6・1・1 2次方程式
 6・1・2 3次方程式
 6・1・3 4次方程式
6・2 高次代数方程式
 6・2・1 収束判定法
 6・2・2 減次
 6・2・3 ニュートン法
 6・2・4 平野の修正ニュートン法
 6・2・5 ジェンキンス・トラウブ法
 6・2・6 デュラン・ケルナー法
6・3 超越方程式
 6・3・1 ミュラー法
 6・3・2 はさみうち法
6・4 連立非線形方程式
 6・4・1 ブロイデン法
 6・4・2 ブレント法
 6・4・3 パウエル法
6・5 不動点アルゴリズム
 6・5・1 連続変化法
 6・5・2 区分的線形化法
(他にも積分方程式や最小2乗法の章にも非線形の話題がでてきます。)
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"Numerical Recipes in C"


"Numerical Recipes in FORTRAN"
はいかがでしょう。
かなり有名ですし、広範囲をカバーしているとおもいます。

参考URL:http://www.nr.com/
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この回答へのお礼

pdfファイル見てみました。かなり色々ありますね。
ただ、英語版だとちらっと見るのに重いので日本語版の方を
手に入れようかと考えています。ありがとうございました。

お礼日時:2001/01/26 16:31

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Q一階非線型の方程式の問題の解き方を教えて下さい

以下の問題が、どうしても解けません。

dx/dt=3x-3x^3
(x=0.1のとき、t=0)

独学で学んでいるのですが、
式変形の方法など、いろいろ教えて頂ければ嬉しいです。
どうか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

dx/dt=3x-3x^3

を変形すると,

dx/dt=3x(1-x^2)
dx/(3x(1-x^2))=dt

積分定数を c として,積分すると,

∫dx/(3x(1-x^2))=∫dt+c

左辺の 1/(3x(1-x^2)) は,変形すると,

[1/(3x(1-x^2))]= 1/(3 x)-1/(6 (x+1))-1/(6 (x-1))

なので,積分は,
∫[1/(3 x)-1/(6 (x+1))-1/(6 (x-1))]dx=∫dt+c
となります.これを計算すると

(1/3)ln(x)-(1/6)ln(x+1)-(1/6)ln(x-1)=t+c

この両辺に6を乗ずると,

2ln(x)-ln(x+1)-ln(x-1)=6t+6c

ln(x^2)-ln(x+1)-ln(x-1)=6t+6c
ln(x^2)-[ln(x+1)+ln(x-1)]=6t+6c
ln(x^2)-ln((x+1)(x-1))=6t+6c
ln(x^2)-ln(x^2-1)=6t+6c

ln[(x^2)/(x^2-1)]=6t+6c

(x^2)/(x^2-1)=exp(6t+6c)

となり,C=6c と置いて変形すると,

(x^2)/(x^2-1)=Cexp(6t)

が,一般解です.

検算:

[2x(x^2-1)-(x^2)(2x)]/(x^2-1)^2=6Cexp(6t)・(dt/dx)
[2x^3-2x-2x^3]/(x^2-1)^2=6Cexp(6t)・(dt/dx)
(-2x)/(x^2-1)^2=6Cexp(6t)・(dt/dx)

Cexp(6t)=(x^2)/(x^2-1)

であるから,

(-2x)/(x^2-1)^2=6(x^2)/(x^2-1)・(dt/dx)

(-1)/(x^2-1)=3x・(dt/dx)
(1/(1-x^2))=3x・(dt/dx)
1=3x(1-x^2)・(dt/dx)

故に,

(dx/dt)=3x(1-x^2)

となり,元の微分方程式を得るので,一般解

(x^2)/(x^2-1)=Cexp(6t)

は正しいです.

dx/dt=3x-3x^3

を変形すると,

dx/dt=3x(1-x^2)
dx/(3x(1-x^2))=dt

積分定数を c として,積分すると,

∫dx/(3x(1-x^2))=∫dt+c

左辺の 1/(3x(1-x^2)) は,変形すると,

[1/(3x(1-x^2))]= 1/(3 x)-1/(6 (x+1))-1/(6 (x-1))

なので,積分は,
∫[1/(3 x)-1/(6 (x+1))-1/(6 (x-1))]dx=∫dt+c
となります.これを計算すると

(1/3)ln(x)-(1/6)ln(x+1)-(1/6)ln(x-1)=t+c

この両辺に6を乗ずると,

2ln(x)-ln(x+1)-ln(x-1)=6t+6c

ln(x^2)-ln(x+1)-ln(x-1)=6t+6c
ln(x^2...続きを読む

Q何故線型空間はあっても、非線形空間はないのですか?

数学的空間がよく分からなくてwikipediaで見てみたのですが、これは構造の入った集合だと説明されていました。
更にその構造の項目を見てみると、順序構造や、代数的構造や、位相構造が例に挙げられていました。
しかし空間は大きく分けて「線形空間」と「位相空間」がベースだと書かれており、大体の数学的空間はこの二つから派生しているように思えました。

ここで疑問に思ったのですが、何故代数的構造の中でも「線型」の代数のみが空間として扱われているのでしょうか?
また順序構造は空間として扱えないのでしょうか?
それとも私が理解していないだけで、これらも空間として扱われているのでしょうか?

何か、基礎の基礎を理解していないようで申し訳ないのですが、ご教授いただければ助かります。

Aベストアンサー

ありますよ。
ただ、「非線型空間」ではなく、
「多様体」という名前になっています。

Q線型?非線形?

exp(x) = ax  a;const.

これって非線型方程式ですかね?

この解って簡単には求まりませんよね?
だから非線形なのかなーと思うのですが…

Aベストアンサー

f(x)=e^x-ax で
f(b+c) = f(b)+f(c), f(bc) = bf(c)
が任意のb, cに対して成り立たないので、非線形。

Q非斉次な1階線型微分方程式の質問です。

はじめまして、どうしても分からないので質問させてもらいます。

1.dx/dt + x = e^t
2.dx/dt + x*sint = sint
3.dx/dt + x/t = 1


(1)はx(t)=(e^(t) + 2C*e^(-t)) /2
(3)はx(t)=t+C*e^(-log[t])
と答えはでたのですが(2)がどうしても分かりません。
周りに分かる人もいないので分かる方がいらっしゃれば教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

こんにちは。
>2.dx/dt + xsint= sint がどうしても分かりません。

何通りか解を示してみましょう。分かりやすいのをどうぞ。
1階線型非斉次常微分方程式の解法

[解1] 標準的で、絶対に覚えなければならない解法です。
x'(t)+P(t)x=Q(t)の解は、
公式x(t)=exp(-∫P(t)dt)(∫Q(t)exp(∫P(t)dt)dt+C)であるから、

x(t)=exp(-∫sintdt)(∫sintexp(∫sintdt)dt+C)
  =exp(cost)(∫sintexp(-cost)dt+C)
  =exp(cost)(exp(-cost)+C)
  =Cexp(cost)+1(Cは定数)(答え)

[解2] x'(t)+P(t)x=Q(t)の両辺に、exp(∫P(t))を掛けると一発です。
これがお勧めです。
x'(t)+xsint=sint の両辺に、exp(-cost)をかけると、
x'(t)exp(-cost)+xsintexp(-cost)=sintexp(-cost)
⇔ (x(t)exp(-cost))'=(exp(-cost))'

両辺を積分すると、x(t)exp(-cost)=exp(-cost)+C
∴x(t)=Cexp(cost)+1(Cは定数)(答え)

[解3] 変数分離形になります。
x'(t)+xsint=sint ⇔ dx/dt=(1-x)sint
従って、dx/(x-1)=-sintdtとなり、log|x-1|=cost+D(Dは定数)
|x-1|=exp(cost+D)、∴x=Cexp(cost)+1(Cは定数)

[解4]定数変化法というのもあります。(すみません。省略します)

こんにちは。
>2.dx/dt + xsint= sint がどうしても分かりません。

何通りか解を示してみましょう。分かりやすいのをどうぞ。
1階線型非斉次常微分方程式の解法

[解1] 標準的で、絶対に覚えなければならない解法です。
x'(t)+P(t)x=Q(t)の解は、
公式x(t)=exp(-∫P(t)dt)(∫Q(t)exp(∫P(t)dt)dt+C)であるから、

x(t)=exp(-∫sintdt)(∫sintexp(∫sintdt)dt+C)
  =exp(cost)(∫sintexp(-cost)dt+C)
  =exp(cost)(exp(-cost)+C)
  =Cexp(cost)+1(Cは定数)(答え)

[解2] x'(t)+P(...続きを読む

Q○≡○≡○ のように3つ以上項がつらなる合同式

整数a≡整数b (mod整数c) ⇔ 整数a-整数b=整数c×整数d となる整数dが存在する

というのが合同式の定義ですよね


ここで一つ疑問があるのですが、3つ以上項がつらなる合同式も普通に使いますよね
その3つ以上項がつらなる合同式の意味は、

整a≡整b≡整c (mod整d) ⇔ 整a≡整b (mod整d) ∧ 整b≡整c (mod整d)

と考えてよいのでしょうか?

Aベストアンサー

はい。
そのように使う慣習です。


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