完全弾性衝突

高校物理の分野の質問です。

同じ質量の物体Aと物体Bがある。
物体Aが速度vで静止している物体Bに衝突する。
衝突後、物体Aは静止し、物体Bは速度vで動き出す。
この衝突は完全弾性衝突である。

とあるのですが、このようになる理由を物理的に教えてください。

No.7 回答者： pattykasu 回答日時： 2010/03/31 22:25

すみません。

。。
回答じゃなく質問なのですが。。。

今イタリアに10ヶ月間プログラムで留学中の高校1年生です。
もともと物理が得意でなく、また教科書がすべてイタリア語で書かれているため余計混乱しています。(日本語変だったらごめんなさい)

イタリアの教科書には

Pi=Pf Ki=Kf
* iはinizialeで初めのこと
* fはfinaleで終りのこと (日本でも同じですか?)

このとき

mv0 = mvf + MVf

1/2 mv0^2 = 1/2 mvf^2 + 1/2 MVf^2

となっていて。。。(分かりにくかったらごめんなさい)

最終的に

vf = (m-M/m+M)^v0

Vf = (2m/m+M)^v0


またイタリアの友達に聞いてもみんな理解しておらず、先生も半ば授業放棄していて。。。
でもテストは受けなければならないという状況です。

イタリアに来たばかりは"Ciao"しか知らず留学6ヶ月目の今日常会話は当たり前にできるようになったのですが、教科書となるとやはり難しい言い回しや専門用語があり理解に苦しんでいます。
日本語も今は少し変で語順などに不敏があるかと思いますが、答えていただけると嬉しいです。

No.6 回答者： Skynetwork 回答日時： 2007/08/08 17:05

摩擦を考慮に入れると見通しが悪くなってきますね。

物体が動いているときの動摩擦だけを考えてみましょう。

外力がある場合には２物体衝突前後の運動量も保存しません。
ただ、衝突前は動いている物体Aにのみ摩擦が働いています。
そして摩擦が無かったときの衝突の過程を考えますと、
衝突の瞬間というのは、物体Aが速度vから突然止まるわけです。
この突然止まるという動作に対して、摩擦を考慮に入れても
摩擦はほとんど寄与しないと考えられます。物体が動いていてはじめて
摩擦力を受けるからです。
ですので衝突前から衝突の瞬間まで、摩擦力というのは
単に衝突前の物体Aの速度を減少させるというだけの働きだと考えられます。

衝突直後、物体Bはちょうど物体Aの速度をもらう形で
動き出すのですが、動き出したとき（摩擦の影響を受け始める時）
には既に速度V'を持っていると考えていいでしょう（厳密には加速の過程がありますが）。

したがいまして物体Aは衝突時に止まり、物体Bは速度V' からスタートして
その後摩擦により減速していくと考えることが出来ます。

この回答へのお礼

やはり摩擦がかかわってくると複雑になってきますね；；

二回にわたり回答ありがとうございました！！

お礼日時：2007/08/08 22:23

No.5 回答者： Skynetwork 回答日時： 2007/08/07 23:47

物体Aの最初の速度をvとし、衝突後をv' とします。

物体Bの最初の速度は０なので、衝突後の速度をV'とすると
運動量保存則により
mv = mv' + MV'

ですが、m=M だから

v - v' = V'

です。さて、エネルギー保存則より

(mv^2)/2 = (mv'^2)/2 + (MV'^2)/2

です。見やすくすれば

v^2 = v'^2 + V'^2 = v'^2 + (v - v')^2
= v^2 + 2 v'^2 - 2 v v'

で結局

v' ( v - v') = 0

です。

結局エネルギーが保存する場合には
Aが素通りする(v' = v, V' = 0) か、
または止まる(v' = 0, V' = v)ということですね。

運動量保存則も、エネルギー保存則も結局のところ
運動の三法則によって導かれます。運動の三法則は
もう実験したらそうなるということであって、
理由を考えても無駄ですよ(^^)

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました。


もし、床があらい面で物体Aに動摩擦力が働いていて、衝突後物体Bも床から摩擦力を受けるとしても、
”衝突直前と直後”だけを考えれば、物体が摩擦力にされる仕事は無視して上記と同じ結果になるということですか？

お礼日時：2007/08/08 00:28

No.4 回答者： inara 回答日時： 2007/08/07 22:01

完全弾性衝突とは、エネルギーの損失が全くないような衝突です。

つまり、衝突前にの物体 A が持っている運動エネルギーと衝突前の物体 B が持っている運動エネルギーの和が、衝突後も全く同じで、増えも減りもしない衝突のことです。

物体 A の質量を m とすれば、衝突前の物体 A は速度 v を持ってるので、その運動エネルギーは ( m*v^2 )/2 です。衝突前の物体 B は静止している( v = 0 ）ので、その運動エネルギーはゼロです。したがって
　　　衝突前の物体 A と B の運動エネルギーの和 = ( m*v^2 )/2
です。

衝突後には物体 A は静止し、物体 B の速度が v ならば、物体 A の運動エネルギーはゼロ、物体 B の運動エネルギーは　( m*v^2 )/2 です（物体 A と B は同じ質量なので同じ m を使います）。したがって
　　　衝突後の物体 A と B の運動エネルギーの和 = ( m*v^2 )/2
です。

衝突前後での運動エネルギーの和がどちらも同じ ( m*v^2 )/2 なので、この衝突は完全弾性衝突です。

この回答へのお礼

質問の仕方を少し間違えてしまいました。
知りたかったのは、完全弾性衝突についてというより、

なぜ質量が同じだと、衝突後物体Bは速度vをもち、物体Aは止まるのか、ということでした。

ですが、わかりやすい説明ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/07 22:41

No.3 回答者： ht1914 回答日時： 2007/08/07 19:29

衝突が起こる場合、２つの物体の間には必ず力が働いています。

この力は作用・反作用の法則を満たしています。
この法則から運動量保存の法則が導かれます。
これは重心運動は保存するというのと同じ内容です。系の内部で働く力は系の重心の運動を変えることは出来ないという内容です。
同じ質量の時に運動状態が入れ替わるのはエネルギーが保存する場合です。
質量が異なっていればエネルギーが保存する場合でも運動状態の入れ替わりは起こりません。計算は少し面倒ですが丁寧にやれば衝突後の速度を求めることが出来ます。

エネルギーが保存する場合は質量に関係なく相対速度の入れ替わりが起こります。（衝突の前は後ろが速く、衝突の後は前が速いハズですから符号が反対になります。）
Ｖａ’－Ｖｂ’＝Ｖｂ－Ｖａ
（Ｖａ’－Ｖｂ’）／（Ｖａ－Ｖｂ）＝－１
一方全く反発しない場合（衝突後くっついてしまう場合）
はＶａ’＝Ｖｂ’ですので上と同じ式を作ってみると
（Ｖａ’－Ｖｂ’）／（Ｖａ－Ｖｂ）＝０
です。
そこで
（Ｖａ’－Ｖｂ’）／（Ｖａ－Ｖｂ）＝－ｅ
と置いて２つの間の場合も表すことにします。
０≦ｅ≦１です。このｅを反発係数といいます。このｅは実験的に決められる量です。
ｅの式を用いる方が計算が楽なので普通教科書ではエネルギー保存の式を出さずにｅの式を出しています。実験的な式が法則と並んで書かれているとどうしてこういう式が出てきたのかがわからなくなりますね。
エネルギーが保存する場合の関係を修正してエネルギーの保存しない場合に当てはめるために持ち込んだ量が反発係数（弾性係数）ｅです。

この回答へのお礼

”同じ質量の時に運動状態が入れ替わる”

とありますが、どのように計算すればその事実が確かめられますか？

お礼日時：2007/08/07 22:55

No.2 回答者： N64 回答日時： 2007/08/07 15:47

訂正：

反発係数をゼロとする。を
反発係数を１とする。に

No.1 回答者： N64 回答日時： 2007/08/07 15:00

削除されるので、ヒントだけ：

反発係数をゼロとする。
衝突前後でエネルギーが保存される。

参考URL：http://www.asahi-net.or.jp/~uc3k-ymd/Sketch/Ball …