トランプのいかさまゲームの確率計算

初めまして。
TVドラマの『ライアーゲーム』でも登場する、いかさまのカードゲームについて気になったことがあるので、質問いたします。

以下のようなゲームです。
一応、具体的なルール説明を書きます。

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０．準備
・2枚のトランプを用意する
・1枚目は『両面とも裏模様』の特殊なトランプ、2枚目は『表はジョーカー、裏は裏模様』の普通のトランプ。
・二人でゲームをする。予め、自分が【表】か【裏】かを決める。

・中が見えない袋に2枚を入れておき、1枚を引く。
・裏模様が見えたら、そのカードを裏返し、表が出るか裏が出るかを判定。
・裏が出たら【裏】のプレイヤーに、ジョーカー面が出たら【表】のプレイヤーに1ポイント。
・カードを引いた時点でジョーカー面が出た場合は、ノーカウント
・10ポイント先取したほうが勝利

というルールです。説明が分かりづらくすみません。
お分かりかとは思いますが、このゲームは、一見公平な条件のように見えて、最初に【裏】を選んだプレイヤーが2倍有利です。

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具体的な説明は以上ですが、簡略化すると以下の通りです。

　　◆1/3の確率でA、2/3の確率でBにポイントが入る
　　◆先に10ポイント入った者が勝ち、その時点で終了

この場合、【A】が勝利する確率はいくつになりますか？
数IIICまでの知識はありますが、相当厄介な計算になってしまいました。

値がいくつに収束するのかが知りたいので、結果だけでもよければ知りたいです。（プログラミングする技術がないので・・・）
どなたかご教授下さい。宜しくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/08/23 17:16

１９回中Ａが１０回以上勝つ確率と同じという考え方を利用して求める事も可能です。

一見、なんじゃ、そりゃ？？と思われるかもしれませんが、１９回中Ａが１０回以上勝つという事は、どのようなケースにおいてもＡが１０ポイント先取している事になります。逆に、Ａが１９回中１０回以上勝たなければ、Ｂに１０ポイント先取されている事になりますので、これらは同値となります。つまり、１９回中Ａが１０回勝つ　⇔　Ａが１０ポイント先取するという事が言え、１９回中１０回以上勝った者が勝者とするゲームとして見なしても良い事が言えます。（いまいち、ちゃんと伝わってないかもしれませんが．．；）

なので、以下のように式を立てて計算すれば、

Σ（ｋ＝１０～１９）{１９Ｃｋ×（１／３）＾ｋ　×（２／３）＾（１９－ｋ）}＝０．０６４７６６１７２８

となります。

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
大変スマートな考え方で、こんな発想もあったのかと驚きました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/06/19 22:16

No.4 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/08/23 13:29

＃　カードを引いた時点で【裏面】の確率は(3/4)

裏返した時点で、【裏面】の確率は(2/4)　B
裏返した時点で、【表面】の確率は(1/4)　A
＃　カードを引いた時点で【表面】の確率は(1/4)ノーカウント

>>【裏】を選んだプレイヤーが2倍有利。

>>10ポイント先取したほうが勝利。

ということは、試行回数をnとして、10≦n≦19

(0)○○○○○○○○○◎
(1)●○○○○○○○○○◎
(2)●●○○○○○○○○○◎
(3)●●●○○○○○○○○○◎
(4)●●●●○○○○○○○○○◎
(5)●●●●●○○○○○○○○○◎
(6)●●●●●●○○○○○○○○○◎
(7)●●●●●●●○○○○○○○○○◎
(8)●●●●●●●●○○○○○○○○○◎
(9)●●●●●●●●●○○○○○○○○○◎

式変形は出来そうもないので、以下の計算はエクセルを使用します。

(0)C[9,0]*{(1/3)^9}*{(2/3)^0}*(1/3)=0.0000169350878084303
(1)C[10,1]*{(1/3)^9}*{(2/3)^1}*(1/3)=0.0001129005853895350
(2)C[11,2]*{(1/3)^9}*{(2/3)^2}*(1/3)=0.0004139688130949620
(3)C[12,3]*{(1/3)^9}*{(2/3)^3}*(1/3)=0.0011039168349199000
(4)C[13,4]*{(1/3)^9}*{(2/3)^4}*(1/3)=0.0023918198089931200
(5)C[14,5]*{(1/3)^9}*{(2/3)^5}*(1/3)=0.0044647303101204900
(6)C[15,6]*{(1/3)^9}*{(2/3)^6}*(1/3)=0.0074412171835341500
(7)C[16,7]*{(1/3)^9}*{(2/3)^7}*(1/3)=0.0113389976130044000
(8)C[17,8]*{(1/3)^9}*{(2/3)^8}*(1/3)=0.0160635799517563000
(9)C[18,9]*{(1/3)^9}*{(2/3)^9}*(1/3)=0.0214181066023417000

合計　0.064766172790963≒６．５％

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
ご回答頂きありがとうございました。

お礼日時：2008/06/19 22:17

No.3 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/08/23 12:45

Ａ２です。

　すみません　質問文を最後まで見てなくて。

確率が１／３、２／３　なのは　先刻ご存じだったのですね。　大変失礼しました。

１０回・・・・・についてもＡ１さんが回答されていますね。

これまた失礼しました。

No.2 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/08/23 12:38

裏返すと、模様とジョーカーがでるのが五分五分と考えるのが錯覚（まちがい）なのです。

両方模様のカードを　Ａ

片方模様のカードを　Ｂ

とします。

封筒から見えているのは下の４通りです。

　１：Ａ表　　２：Ａ裏　　３：Ｂ表　　４：Ｂ裏　　の４つのケースがあり、そのどれもが平等な確率でおこります。このうち、　封筒の口から［模様が見える］のは　　１２４　の場合です。そして、それを裏返すと　模様　模様　ジョーカー　ですので、

結局　模様に賭ける方が　２倍も得なのです。　つまり、封筒の口から模様が見えるケースが３０回あればそのうち裏返したら模様ということが２０回起こるのです。

意外な答えかも知れませんが、確率を利用した論理パズルでは有名な問題です。

先に１０ポイント・・・・については、ご自分で計算してください。１／３　と２／３　で計算すればいいのだと思います。　１／２　ではだめ。

繰り返しますが、試行をくりかえすと、以下の４通りが均等にでるのです。

１：Ａ表　　２：Ａ裏　　３：Ｂ表　　４：Ｂ裏　３はジョーカー　このときは引き分け。　あとの３回のうち、２回は裏が模様です。




　

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
ご回答頂きありがとうございました。

お礼日時：2008/06/19 22:17

No.1 回答者： k_maisan 回答日時： 2007/08/23 11:21

Ａが勝つ確率が1/3のゲームで、ＡがＢより先に10勝する確率とします。

Ａが勝つパターンは、勝敗数でＡが「10勝0敗」から「10勝9敗」までＢの勝ち数の数だけ10通りあり、それぞれの確率を求めて足し算すればよいでしょう。
ただし、10勝9敗でもＢが9敗する前にＡが10勝してしまうとそこで終了ですので、計算は９勝する確率を基準に求めます。

10勝0敗なら、9勝0敗から勝利 → ((1/3)^9)*((2/3)^0)*(9Ｃ9)*(1/3) = 0.0000169351
10勝1敗なら、9勝1敗から勝利 → ((1/3)^9)*((2/3)^1)*(10Ｃ9)*(1/3) = 0.0001129006
10勝2敗なら、9勝2敗から勝利 → ((1/3)^9)*((2/3)^2)*(11Ｃ9)*(1/3) = 0.0004139688
:
(中略)
:
10勝9敗なら、9勝9敗から勝利 → ((1/3)^9)*((2/3)^9)*(18Ｃ9)*(1/3) = 0.0214181066
となり、合計すると、0.0647661728

このゲームでのＡの勝利利する確率は 6.4766 % ほど、となりました。

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
ご回答頂きありがとうございました。

お礼日時：2008/06/19 22:18