（再質問）円形の池の周りに鬼がいて、池の中心にＡさんがいて、鬼に捕まらずに逃げるには？

Question

半径 R の円形の池があり、中心にＡさんがいます。
Ａさんは一定の速度 v で泳げます。
池の周りには鬼がいて、速度 V で池の周囲のみを走ることができます。
鬼は可能な限りＡさんを捕まえようと最善の方法で走ります。 
Ａさんは可能な限り鬼に捕まらないように池の外に最善の方法で出ようとします。
（鬼の位置によって進む方向を変えてもかまいません。）

さて、Ａさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
どのような戦略をとれば、最短時間で逃げられるでしょうか？
（ v/V > 1/π のときは自明ですので、v/V ≦ 1/π とします。）


これは、
http://okwave.jp/qa3304342.html
のうち、(1) と (3) が解決したので、まだ解けていない (2) を質問したものです。

私は今考え中です。
(3) の結果を利用して、(2) の答えがうまく導き出せないか、と思っています。

難問かもしれませんが、回答、もしくはヒント等頂ければ助かります。
解くには時間がかかるかもしれませんので、
その場合は「考え中です」とでも回答して頂ければよいと思います。

hiccup · Accepted Answer

脱出計画書

最短時間を表すのは無理があるので、無駄なくぴったり捕まってしまうことを目指します。

脱出可能な v のとき、A さんが最適なコースを進行中に鬼が反転するのは、鬼にとっては不本意ながらも悪あがきに過ぎません。だから鬼は一定の方向に回るものとしてよいですね。すると、中心から延びる曲線と、直線の組み合わせになるでしょう。

中心から延びる曲線とは、鬼と角速度を同じにしながら、つまり鬼と同じ直径上にいながら最も効率よく鬼から遠ざかる曲線のことです。これは A さんの角速度を鬼と対等以上でいることができる領域内にありますが、v によってはこの境界の手前で一直線に逃げるほうが時間を短縮できます。

では、この曲線ですが、鬼の角速度が V/R なので ( r cos(V/R)t , r sin(V/R)t ) とすると
(dr/dt)^2 + (V/R)^2 r^2 = v^2　ですから
r = (v/V)R sin(V/R)t
境界の半径は r = (v/V)R なので、境界到達時間は t = πR/2V です。

次に、鬼と同じ直径上の r = (v/V)R の位置にいて、そこからは直線となります。
鬼を ( -R , 0 )、A さんを ( (v/V)R , 0 )、鬼は正の回転、ぴったり捕まえる場所を ( Rcosφ , Rsinφ ) とします。すると
√{(v/V)^2 -2(v/V)cosφ + 1} = (v/V)(π+φ)
を満たします。このφを使って、(π+φ)R/V がかかる時間です。
φ= 0 のとき v/V = 1/(1+π) 、これは直径上を逃げるものですが、ここが境界と半径上の脱出との拮抗点となるでしょう。

よって場合分けは次のようになります。

case 1：（下限）< v/V < 1/(1+π)　のとき　完全な曲線と直線
case 2： 1/(1+π) < v/V < 1/π　のとき　曲線を途中で切り上げて直線の最短経路
case 3： 1/π < v/V　のとき　直線
（等号はどちらかに入れます）

case１のときは私には表現できず、case２のときは (R/V)arcsin(V/v - π) + πR/V 秒でしょうか。


どうも、私はあちらでお世話になりました。こちらですでに ID を持っていたので出づらかったのです。(1) の解決、おめでとうございます。f(r) 、私の解釈での df(r)/dr ですが、最適になるよう作られていますね。あそこでは疑問が残るようなことを言っていましたが、この場をお借りして訂正します。

hiccup · Answer

前回の ANo.10 の montmort さんの方法での解決を確認しました。
差し出がましいようですが少し解説まがいのことをしますと、
>> 簡単のため池を単位円
とは長さのスケールを変えることであり
>> 鬼の角速度を1
とはさらに時間のスケールを変えることですね。
v がそのまま使われているので違和感があって「間違えてるな」と思ってぼんやり読んでました。結局、私の方が間違えていることがわかり、浅はかな自分に恥じ入ります。montmort さんには本当に申し訳なく思います。

さて気を取り直しまして、この問題には私はかき混ぜ役としてかかわりましたが、この問題の解決をみなさんといっしょによろこびたいと思います。

hiccup · Answer

これは前回 montmort さんが ANo.10 で書かれているものですね。
私には難しすぎて理解するためには十分な時間が必要です。

すでに出ていたのに、ちゃんと読んでいなかったことを反省しています。こめんなさい、montmort さん。

hiccup · Answer

> kts2371148 さんの方法が本命ですね。
> 場合分けせずに美しい形で決着するなんて、
> すごいものが隠れていたものです。

最善の脱出経路の基本形が円周の一部とその接線でできているという意味です。
こんな形が隠れていたのには驚きました。点が線につながったときにはゾクゾクしましたよ。
こちらも計算してみますね。投稿するかどうかはわかりませんが。

hiccup · Answer

おお、その通りです。
あれだけ相対図と絶対図に気をつけていたはずなのに罠にはまっていました。
先の　f(φ) =  (v/V)R(π+φ) - R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }　において、R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 } が補正されていない上に、考えているφの範囲も狭すぎました。
反省しきりです。

kts2371148 さんの方法が本命ですね。場合分けせずに美しい形で決着するなんて、すごいものが隠れていたものです。


学ぶことが多くあった問題でした。（←投げてる人）結局、質問者である kts2371148 さんが解決したりして？

hiccup · Answer

case 1：（下限）< v/V < 1/(1+π)　の v に対して、P( vR/V , 0 ) とします。
Q( Rcosφ, Rsinφ ) とおきます。鬼が ( -R, 0 ) から正の回転で Q まで行くのに R(π+φ)/V の時間がかかります。
この間に A さんが移動する距離は (v/V)R(π+φ) です。これと PQ を比べます。
Q から (v/V)R(π+φ) だけ離れた x 軸上の点をとり、それが OP 間にあれば、中心を出発した A さんは P に到着する前に Q を目指せばよいことになります。しかし、これは無理のようです。

PQ = R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }　なので
f(φ) =  (v/V)R(π+φ) - R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }
とすると
f'(φ) = (v/V)R[ 1 - sinφ/√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }]　です。
PQ と x 軸のなす角を ψ とすれば
f'(φ) = (v/V)R( 1 - sinψ )　なので f(φ) は単調増加です。

f(0) = (v/V)Rπ - R( 1 - v/V ) < 0
ψ= 0 のときは接線方向で、このときは逃げ切ることができたので f(ψ=0のときのφ) > 0
よって  (v/V)R(π+φ) = R√{(v/V)^2 - 2(v/V)cosφ + 1 }　となるφがありますが、これは case 1 で提示した P を通過してぴったり捕まるφです。つまり、この経路の途中で直線で逃げて時間を短縮できないということです。


もうこれ以上のものを見つけられないので、すっかり忘れていました。今日思い出しました。
case 2 は途中から x 軸上を逃げます。
私の暗号みたいな文章を読み解いてもらってなんだか申し訳なく思います。

Knotopolog · Answer

＃２の Knotopolog です．その通りです．

>> 常に「脱出点」で待機していれば，
>> Ａに逃げられる心配はありません．
>>ということにはならないはずです。
>>Knotopologさんがご指摘の方法で鬼が待ち構えられるのは、
>>v と比較して V が超高速の場合、
>>つまり v << V の場合だけです。

v が一定というのを固定の意味に勘違いしていました．又，考えてみます．

Knotopolog · Answer

今，初めて質問をみました．前質問への回答にも目を通しました．完全解決につながる回答ではないかも知れませんが，感じたことを書き連ねます．本質問に対して，
(i)：Ａは池の水面のみを平面的に移動するものとする．潜ったり，空中に浮いたり出来ない．と考えます．
(ii)：鬼がＡを認識できる時間の設定がありませんので，今までの議論には，鬼がＡの居場所を瞬時に確認できるものとの「暗黙の仮定」があります．もし，鬼がＡを認識するのに時間（仮に「認識時間」と呼びＴ秒とする）がかかると仮定するのであれば，「認識時間」の値によっては，「v/V > 1/π」のときでもＡは池の外へ逃げ切ることが出来る場合があります．「認識時間」を大きくとれば良いのですから．({R/v}＜Ｔ)．{R/v}＜Ｔの場合は，Ａが池の外へ出たあとで，鬼がＡを認識する，という意味の認識時間Ｔをとることも出来るわけです．（例えば，コウモリが音波で虫を捉える場合などの認識時間は音速から計算できる）．いままでの議論では，この「認識時間」が無限大（瞬時に認識）である．とでも言えましょうか．（数学的な設問ですから，これでもいっこうに差し支えはありませんが，一応，どういう考えなのかな？という疑問が発生します）．ANo.1 回答者：b4330 さんの「川を潜る」発想も質問の不備，不完全さを突いたもので「冗談，冷やかし，おふざけ」ではないのだと，解釈しています．（もう済んだことを，くどく，むしかえしてすいません）．
(iii)：本質問（設問(2)）では，鬼の速度 V が任意であると解釈できます． v/V ≦ 1/π を満たせば，速度 V は如何なる値でもよいことになります．そう解釈しています．と言うことは，如何なる超高速でも可能ということになります．すなわち，鬼の速度 V は，任意の有限な値で，加速，減速が自由に出来るとする．と言う仮定のもとに議論を進めることになります．（v/V ≦ 1/π 以外に速度の条件は何もない）．
仮定(iii)で議論を進めてみましょう．
半径 R の円（池の円周）の中心点とＡを結ぶ直線をＬとします．直線Ｌが半径 R の円の円周と交わる点を「脱出点」と呼ぶことにします．したがって，直線Ｌと「脱出点」はＡが鬼から逃げ回ると同時に移動します．しかし，Ａは常に直線Ｌ上に存在することになります．Ａが直線Ｌから外れることはありません．鬼は，Ａを瞬時に認識し，池の円周上を超高速で移動し，常に「脱出点」で待機していれば，Ａに逃げられる心配はありません．鬼の速度制限は，v/V ≦ 1/π 以外には無いのですから，上記が可能です．Ａがどのようなコースを取ろうとも，「脱出点」以外から池の外に出ることは出来ませんから鬼をかわすことが出来ません．したがって，Ａは鬼に捕まらず池の外に出ることは永久に出来ません．鬼の速度 V に上限がなければ，上記が成り立ちます．数式を用いる必要はありません．何か，勘違いしているでしょうか？

（再質問）円形の池の周りに鬼がいて、池の中心にＡさんがいて、鬼に捕まらずに逃げるには？

脱出計画書

この回答への補足

前回の ANo.10 の montmort さんの方法での解決を確認しました。

この回答への補足

これは前回 montmort さんが ANo.10 で書かれているものですね。

この回答への補足

> kts2371148 さんの方法が本命ですね。

おお、その通りです。

case 1：（下限）< v/V < 1/(1+π) の v に対して、P( vR/V , 0 ) とします。

＃２の Knotopolog です．その通りです．

今，初めて質問をみました．前質問への回答にも目を通しました．完全解決につながる回答ではないかも知れませんが，感じたことを書き連ねます．本質問に対して，

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