データ配列に、
y = a sinc(b(x-c))
で表せれる式をフィッティング(最小二乗法など)したいのですが、良い方法がわかりません。
どなたか教えてもらえませんでしょうか?

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A 回答 (2件)

データを(x[i],y[i]) (i=1,2,....N)とし、x[i]は誤差が無視でき、y[i]には誤差がある。

つまり、
f(a,b,c;x) = a sinc(b(x-c))
としたとき、
y[i]-f(a,b,c:x) = ε[i]
このε[i]をたとえば最小二乗法で小さく押さえ込みたい。という問題ですね。

いろんな方法があるんです。そして、アプローチを決める上でのポイントは
●sincが波打ってる所まで、つまり遠くまでxがあるのかどうか。
●xが沢山あるかどうか。波の一つあたり少なくとも幾つかはxがあるのかどうか。
●xが等間隔に与えられているのか。
●yのノイズがモデルに比べてものすごく大きかったりしないか。
●xにノイズはないか。
●sincのひとつの山の一部だけのデータしかなければ、どの山のものなのか特定するのは極めて困難である。
●計算を1回やれば良いのか、数十回やるのか、どんどん入ってくるデータを自動処理したいのか。
●a,b,cの大体の値は分かっているのか。
などです。これらの条件を勘案して、適当な方法を決めなくてはならない。ともかく幾つか汎用性の高いアプローチを示しましょう。
教科書に載っている「非線形最小二乗法」は、まあ行ってみれば最後の手段です。
(でも「最小二乗法による実験データの解析」東大出版会 は持っていて損のない本です。)

★アプローチ(1)
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
を使って、
f(a,b,c;x) x=c f(a,b,c;x)+{(a/b)(cos bc)} (sin bx) +{-(a/b) (sin bc)} (cos bx)
とモデルを書き換えます。
f(a,b,c;x)=y[i]-ε[i]
を使って、
y[i](x[i])=
  c y[i]+
  {(a/b)(cos bc)} (sin bx[i]) +
  {-(a/b) (sin bc)} (cos bx[i])+(x[i]-c)ε[i]
ですね。従って、
Y[i]= y[i](x[i])
α=c
β={(a/b)(cos bc)}
γ={-(a/b) (sin bc)
δ[i]=(x-c)ε[i]
と考えてしまえば、これはbだけが非線形で、あとのa,cについては線形最小二乗法の問題です。だからbを適当な方法で探索すれば良い。その過程で一旦cの概算値が分かってしまえば、
y[i](x[i])/(x[i]-c)=
  c y[i]/(x[i]-c)+
  {(a/b)(cos bc)} (sin bx[i])/(x[i]-c) +
  {-(a/b) (sin bc)} (cos bx[i])/(x[i]-c)+ε[i]
によって、より良い評価が得られるから、bを決めてはc,aを計算することを繰り返せばよい。

★アプローチ2
xが等間隔でたっぷりあって、yのノイズが小さいのなら、フーリエ変換してしまいましょう。
F(a,b,c;ω) = (a/√(2π) )integral{x=-∞~∞} sinc(b(x-c)) exp[-iωx] dx
とすると
F(a,b,c;ω) = (a/√(2π) )integral{x=-∞~∞} sinc(bx) exp[-iω(x+c)] dx
=exp[-iωc] (a/(b√(2π) ))integral{x=-∞~∞} {sin(bx)/x} exp[-iωx] dx
=exp[-iωc] (a/(b√(2π) ))√(2π) ---- |ω|>|b| さもなくば0
=exp[-iωc] (a/b)---- |ω|>|b| さもなくば0
=(a/b) ((cos ωc)-i(sin ωc))---- |ω|>|b| さもなくば0
ここで
|F(a,b,c;ω|^2 =(a/b)^2---- |ω|>|b| さもなくば0
これでa, bを決めてしまうことができる(かも知れません)。そうすれば、
既知のものを大文字で書けば
f(A,B,c;x) x=c f(A,B,c;x)+{(A/B)(cos Bc)} (sin Bx) -(A/B) (sin Bc) (cos Bx)
なので、
y[i]x[i]=c y[i]x[i]+(A/B)(cos Bc) (sin Bx[i]) -(A/B) (sin Bc) (cos Bx[i])+(x[i]-c)ε[i]

未知数はcだけですね。この線形方程式はBが既知なのでフーリエ級数展開の0次、1次を計算すれば解けてc, (A/B)(cos Bc), (A/B) (sin Bc)が得られます。cが3通りも求められてしまう。これを使って適当にcを選んで
y[i]x[i]/(x[i]-c)=c y[i]x[i]/(x[i]-c)+{(A/B)(cos Bc)/(x[i]-c)} (sin Bx[i]) -{(A/B) (sin Bc)/(x[i]-c)} (cos Bx[i])+ε[i]
で最小二乗法をやっても良いし、あとはいろいろやり方ありますねえ。

★3アプローチ3
ちょっと乱暴ですが、一気に線形で解きます。データの誤差が少なく、データ数が多い場合には非常に強力。
モデルf(a,b,c;x)は微分方程式
(b^2)(x-c)f-f'+(x-c)f''=0
の解である。したがって、
(b^2)xf-(cb^2)f-f'+xf''-cf''=0
これを強引に項別に2回部分積分すると
(b^2)int int xf (dx)^2-(cb^2)int int f (dx)^2-int f dx + xf-int fdx -intint f (dx)^2 - cf =Cx+D+誤差
という線形問題になる。ここでfにyを代入して数値積分し(従ってどの積分も定数になる)、線形最小二乗法で誤差の二乗和を最小化すれば、
(b^2), (cb^2), c, C,D
という係数を決定することが出来る。あとのaを決める方法は自明でしょう。

こうやって得たa,b,cを非線形最小二乗法で改良すると、出発値が良いので非常に安定かつ短時間で計算できます。(ガウス-ニュートン法程度で十分。)

ちと眠たくて、推敲が甘いですから、式の間違いなどチェックはご自分で。
意味不明の部分は、ご遠慮なく補足質問してください。
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
早速回答中のいくつかのアプローチで考えてみます。
わからないことがあったら、また質問させていただきます。そのときはまたよろしくお願いします。

お礼日時:2001/01/29 00:39

x,y が測定値で,a,b,c を最小2乗法で決めたいんですね.


で,a,b,c について線型でないから困っている,ですね.

よく使われる方法は2つ
いずれも,あらっぽくて良いですから,a,b,c の値の
大体の見当をつけておきます.

(a) a,b,c を適当なステップで変えて残差の2乗の和を計算する.
残差の2乗の和が最小になる a,b,c が求めるものです.
例えば,a,b,c をどれも10通り変えて,1000 通りについて残差の2乗和
を見ればよい.
1回ではステップが荒すぎるなら,残差の2乗和が最小になっている
あたりをもっと細かくやる.
例えば,範囲を1回目の 1/10 に絞り,ステップも 1/10,
a,b,c の値はやはり10通りずつですね.
お好きなだけ手続きを繰り返してください.

(b) 線型じゃなくて困るなら,線型にする.
a の見当値を a0 とし,a = a0 + δa とする.
b,c についても全く同様.
で,δa, δb, δc の1次まで展開すれば,
δa, δb, δc について線型になりますね.
線型の最小2乗法だから簡単にできる.
できたら,a0 + δa を新たに見当値 a0 と思って,
同じことを繰り返す.
何回かやれば十分収束します.

定めるべき係数がべらぼうにたくさんあるときは,
収束を早くする線型代数的テクニックが使われますが,
今は3個しかありませんから,
テクニック学んだりプログラムが複雑になったりするよりは
素直にやるのが早いでしょう.

どちらも簡単なプログラムでしょう.
主要部分は繰り返しですから,
適当に判断してループから抜ければいいですね.

非常に運が悪いとうまくいかないことがまれにありますが
たいていは上のどちらかで十分です.
誤差評価も考えてくださいね.
誤差分より細かいステップまでやっても意味がありません.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

お礼日時:2001/01/29 00:36

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No1の方が書いておられるように、これは厳密には非線形の最小二乗法になります。
ただし、単にそう書いても、質問者の方にはわからないと思いますので、具体的かつ実用的なやり方を書きましょう。
と言っても、簡単です。
まず、cとして、適当な値c1を仮定します。
すると、
y-c1=a1e^b1x
の最小二乗法に帰着され、a1,b1が求まります。
この時の残差を、z1とします。
z1=Σ(yi-c1-a1e^b1xi)^2

次に、cの増分値をΔcとして、
c2←c1+Δc
と置いて、また最小二乗法を適用し、残差z2を求めます。
z2=Σ(yi-c2-a2e^b2xi)^2

さらに、
c3←c1+2Δc
と置いて、また最小二乗法を適用し、残差z3を求めます。

この段階で、cに対して残差zをプロットし、2次関数近似してみましょう。
うまくいけば、極小値がこの範囲内にみつかります。
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もし、cに対するzが、単調増加、あるいは単調減少になってしまったら?
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No1の方が書いておられるように、これは厳密には非線形の最小二乗法になります。
ただし、単にそう書いても、質問者の方にはわからないと思いますので、具体的かつ実用的なやり方を書きましょう。
と言っても、簡単です。
まず、cとして、適当な値c1を仮定します。
すると、
y-c1=a1e^b1x
の最小二乗法に帰着され、a1,b1が求まります。
この時の残差を、z1とします。
z1=Σ(yi-c1-a1e^b1xi)^2

次に、cの増分値をΔcとして、
c2←c1+Δc
と置いて、また最小二乗法を適用し、残差z2を求めます。
z2=Σ(yi-c2-a2e^b2xi)...続きを読む

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
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(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Q誤差を考慮した最小二乗法

誤差を考慮した最小二乗法
実験で「誤差を考慮した最小二乗法で計算せよ。尚、誤差を考慮しない場合は減点する。この場合の誤差とは標準偏差の事である。」という課題何ですが誤差を考慮した最小二乗法とはどうゆう事なのでしょうか?

http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org828193.xls.html
のデータにて
http://www.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2007/5E_comp_app/interpolation/interpolation_html/node4.html
のサイト様を参考にして一次関数の最小二乗法で計算しようと思ったのですが標準偏差はどこに入れればいいのでしょうか?グラフを作った後に誤差棒として標準偏差を入れるという事なのでしょうか?

Aベストアンサー

普通は質問文に上げてあるサイトや、Wikipediaの最初のほうに書いてあるように、
最小二乗法は、残差二乗和を最小にするように係数を決める方法だと書いてあります。
しかしこれは、標準偏差がσすべて同じ場合に限られます。

各測定点でばらつきが異なりそれが既知である場合には、xとyに

y=f(x; a, b, ...)

というモデルを採用した場合には

残差二乗値

E(a,b,...) = Σi ([yi-f(xi; a, b, ...)])^2

ではなく、χ二乗値と呼ばれる

χ^2 = Σi ([yi-f(xi; a, b, ...)]/σi)^2

を最小にします。モデルが一次式ならば y = ax +b なので

χ^2 = Σi ([yi-axi-b]/σi)^2

です。したがって、

E(a,b) = Σi ([yi- axi - b])^2

をスタートにする代わりに

χ^2 = Σi ([yi-axi-b]/σi)^2

から初めて、質問文にあるサイト

http://www.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2007/5E_comp_app/interpolation/interpolation_html/node4.html

に書いてあることと、全く同じように求めていけばいいです。
課題ということですので、以下、ご自身で行ってください。

普通は質問文に上げてあるサイトや、Wikipediaの最初のほうに書いてあるように、
最小二乗法は、残差二乗和を最小にするように係数を決める方法だと書いてあります。
しかしこれは、標準偏差がσすべて同じ場合に限られます。

各測定点でばらつきが異なりそれが既知である場合には、xとyに

y=f(x; a, b, ...)

というモデルを採用した場合には

残差二乗値

E(a,b,...) = Σi ([yi-f(xi; a, b, ...)])^2

ではなく、χ二乗値と呼ばれる

χ^2 = Σi ([yi-f(xi; a, b, ...)]/σi)^2

を最小にします。モデルが一次式な...続きを読む

Q中学数学 x+y=1 1/x+1/y=-1 x>y

中学生です。
下の問題が解けません。
教えて下さい。
よろしくお願いします。

「式1」 x + y = 1
「式2」 1/x + 1/y= -1
「他条件」 x > y

Aベストアンサー

x+y=1…(1)

1/x+1/y=-1…(2)

(1)を変形して
x=1-y

これを(2)に代入する。

1/x+1/(1-x)=-1

分母を通分すると

1/x(x-1)=-1
式を変形すると x^2-x-1=0
x=(1±√5)/2…(3)

x>yなので x=(1+√5)/2
(1)に代入して
y=(1-√5)/2

Qy=a/(x-b)+cの最小二乗法

y=a/(x-b)+cの最小二乗法

y=a/(x-b)+c
という、反比例の式をx方向に+b、y方向に+c平行移動したような曲線の係数a,b,cを求めるための最小二乗法の方法を教えていただけないでしょうか。

工夫してみたのですが、なかなかうまくいきませんでした。
すみませんが、力を貸してください。

Aベストアンサー

 データ(x[k], y[k]) (k=1,2,...,N)
が与えられた時に、残差(residue)
r[k] = a/(x[k]-b)+c-y[k]
の二乗和(square sum of residue)
E(a,b,c) = Σ(r[k]^2) (Σはk=1,...,Nについての総和)
を最小にする係数(a,b,c)を求む、というのが「y=a/(x-b)+cの最小二乗法」の意味するところですね。

 Eが極値を取る係数(a,b,c)を知るために「Eをa,b,cそれぞれで偏微分したものが0になる」という条件を表す連立方程式
∂E/∂a = 0
∂E/∂b = 0
∂E/∂c = 0
を作ってみますと、左辺を計算すると未知数a,b,cについて一次方程式にはならず、これじゃ解けない。

 連立一次方程式にならない場合を「非線形最小二乗法」と(そして、連立一次方程式になってくれる場合を「線形最小二乗法」と)呼びます。非線形最小二乗法では、適当な出発値(a[0], b[0], c[0])から始めて、Eが小さくなるようにちょっとずつ(a,b,c)を改良して行く繰り返し計算が必要です。
 改良のための計算方法はいろいろ工夫(Gauss-Newton法、最急降下法、Marquardt法など)されていますが、最も単純でオバカなやり方は、
(1) b,cを定数、aだけを変数と考えてEを最小化する。
(2) a,cを定数、bだけを変数と考えてEを最小化する。
(3) a,bを定数、cだけを変数と考えてEを最小化する。
を順繰りに何度も何度も繰り返すことです。(教科書は「最小二乗法による実験データの解析」(東京大学出版会)をお薦めします。)

 案外重要なのが出発値(a[0], b[0], c[0])の選び方。ここで言う「適当な」とは、テキトーじゃ駄目なんで、(本来の意味での)適当な、つまり真の解に十分近い出発値を選ばないと改良の計算が収束しないことがあります。
 出発値を選ぶひとつの方法は、「もし残差が0になるようなデータが与えられたならばEに一致して、しかも簡単に計算できる」ような値Fを定義して、Fを最小化する(a,b,c)を(a[0], b[0], c[0])として利用する、というやりかたです。具体的には、
r[k] = a[0]/(x[k]-b[0])+c[0]-y[k]

r[k](x[k]-b[0]) = a[0]+(c[0]-y[k])(x[k]-b[0])
と変形しておいて右辺を展開すると、
r[k](x[k]-b[0]) = (a[0]-b[0]c[0])+b[0]y[k]+c[0]x[k]-y[k]x[k]
ここで
A = a[0]-b[0]c[0]
B = b[0]
C = c[0]
とおくと、
r[k](x[k]-b[0]) = A+By[k]+Cx[k]-y[k]x[k]
と書けますから、この右辺を
s[k] = A+By[k]+Cx[k]-y[k]x[k]
と定義して
F(A,B,C) = Σ(s[k]^2) (Σはk=1,...,Nについての総和)
を最小化するA,B,Cを考える。
すると、s[k]はA,B,Cの一次式になっているので、「普通の(線形)」最小二乗法でA,B,Cが決定できます。そしてA,B,Cからa[0],b[0],c[0]が決まる。(もしr[k]が全て0であれば、E(a[0],b[0],c[0])=0 になるのは自明でしょう。)
 こうして得たa[0],b[0],c[0]はEを最小化しません(∵r[k]が全て0にならない限り、E≠F)が、もしも「Fが十分小さくできるような旨いa,b,cが存在する」のであれば、そのa,b,cはEも小さくしますから、出発値に利用できる訳です。
 言い換えると、もしEが十分小さくなるようなa,b,cが存在する(つまり、モデル y=a/(x-b)+cがデータに良く合う)のであれば、Fを最小化するa,b,cと、Eを最小化するa,b,cとは非常に近い値になる。
 なので実用上は、(a[0],b[0],c[0])だけで十分な精度が得られる(改良のための繰り返し計算をしないで済んでしまう)ことも多々あります。

 データ(x[k], y[k]) (k=1,2,...,N)
が与えられた時に、残差(residue)
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の二乗和(square sum of residue)
E(a,b,c) = Σ(r[k]^2) (Σはk=1,...,Nについての総和)
を最小にする係数(a,b,c)を求む、というのが「y=a/(x-b)+cの最小二乗法」の意味するところですね。

 Eが極値を取る係数(a,b,c)を知るために「Eをa,b,cそれぞれで偏微分したものが0になる」という条件を表す連立方程式
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Q3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2=(x+2y-1)(3x+y-2)について

3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
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Aベストアンサー

xやyのどちらの文字で整理するかで決めるのでなく、
次数の低い方、
その文字の現れる項数が少ない方
両方とも同じなら最高次の係数が小さい方
の文字に着目して整理して解くのが基本かと思います。

例題の場合はx,yについて共に2次、項数も共に3項で同じ、最高次の係数も3と2で素数の小さな数ですから、あまり差はありません。後は好みだけの問題でしょう。同じならxと決めて置いても

他の方法としてxとyの両方に着目し2次の項の因数分解
3x^2+7xy+2y^2=(x+2y)(3x+y)
をしてから、一時項を含めた因数分解に進めます。
左辺=(x+2y+a)(3x+y+b)
定数項ab=2に着目してa,bの候補を絞れば良いですね。


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