三角不等式を使った絶対値の不等式の証明

ｘ、ｙともに実数のとき、｜ｘ｜－｜ｙ｜≦｜ｘ＋ｙ｜　

この不等式を三角不等式を使い証明しろという問題があるんですが、やり方がいまいちよくわかりません。どなたか分かりやすく説明してくれる方いませんか？

No.2 回答者： tarame 回答日時： 2007/09/27 12:05

＞三角不等式を使い証明しろ

ここで使ってよい三角不等式を｜Ａ＋Ｂ｜≦｜Ａ｜＋｜Ｂ｜だとすると

Ａ＝ｘ＋ｙ，Ｂ＝－ｙ とおけば
｜ｘ｜≦｜ｘ＋ｙ｜＋｜－ｙ｜
ゆえに　｜ｘ｜－｜ｙ｜≦｜ｘ＋ｙ｜

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/09/27 11:37

(1)|x|≦|y|の場合

左辺≦0,右辺≧0で常に成立

(2)|x|＞|y|の場合
A=(|x+y|)^2 -(|x|-|y|)^2＝2(xy+|xy|)
xy＝0の時　A＝0
xy＞0の時　A＝4xy＞0
xy＜0の時　A＝2(xy-xy)＝0
まとめると A＝(|x+y|)^2 -(|x|-|y|)^2≧0

(|x|-|y|)^2-(|x+y|)^2＝(|x|-|y|-|x+y|)(|x|-|y|+|x+y|)≦0
|x|-|y|＞0,|x+y|＞0であるから
(|x|-|y|+|x+y|)＞0
したがって
(|x|-|y|-|x+y|)≦0
∴|x|-|y|≦|x+y|
(1),(2)の場合をあわせれば証明されたことになりますね。