ガロア体GF(2)の2次拡大の2次拡大について

GF((2^2)^2)の元の求め方を教えてください。

GF(2)の元は{0,1}で、既約多項式をx^2+x+1とすれば{0,1,x,x+1}の拡大体GF(2^2)が得られることはわかりました。

そこで、拡大体GF(2^2)をさらに2次拡大させたGF((2^2)^2)を求めたいのですが、既約多項式をX^2+X+b(10)=0としたとき、16個の元はどのように求められるのでしょうか。
また、GF((2^2)^2)の元も原始元のべき乗で表現できるのでしょうか。

数学専攻ではないので、できるだけ詳しく解説していただけたら幸いです。
質問の仕方が下手で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/09 19:32

二進数じゃなく、ビットベクタだったんですか。

何にせよ、元に名前をつけるのは自由ですから、
好きな名前をつけたらいいと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2013/08/10 00:20

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/08 01:00

なら、16 個の元は、

0, 1, x, x+1, y, y+1, y+x, y+x+1,
xy, xy+1, xy+x, xy+x+1, xy+y, xy+y+1, xy+y+x, xy+y+x+1
ですよね。

GF(4) は、Z/(4) と同型じゃないので、
x を b(10) と書く気持ちは解りませんが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ビットのベクトルで考える場合、
0 →　(0000)
1 →　(0001)
y →　(0100)
y+1 →　(0101)
y+x+1 →　(0111)
xy →　(1000)
xy+1 →　(1001)
・
・
・
と見ていいのでしょうか？
なんとなくわかった気がします。

お礼日時：2013/08/09 00:12

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/07 14:25

http://www.ie.u-ryukyu.ac.jp/~wada/vhdl/GaloisFi …
↑のように
GF(2)[a] / (a^4+a+1) = GF(2^4)
で構成するのが簡明だけれども、

質問は、
GF(2^4) = GF(2^2)[y] / (f(y))
となるような GF(2^2)[y] の元 f(y) を挙げてほしい
ってことですよね。

GF(2^2) = GF(2)[x] / (x^2+x+1) = { 0, 1, x, x+1 }
の x と紛らわしくならないように
GF(2^2)[x] ではなく GF(2^2)[y] と書きました。

f(y) = y^2 + y + x なんて、どうですかね？


＞ 既約多項式をX^2+X+b(10)=0としたとき

b(10) は、二進数 "10" のつもりなんだろうけど、
それは GF(2^2) の元なんでしょうか？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
質問の意図はおっしゃる通りです。

b(10)は二進数"10"でGF(2^2)の元です。
{ 0, 1, x, x+1 }のうちxにあたります。わかりづらくてすみません。

＞f(y) = y^2 + y + x なんて、どうですかね？
はい、わかりやすく書くとこんな感じです。

補足日時：2013/08/07 22:02