
GF((2^2)^2)の元の求め方を教えてください。
GF(2)の元は{0,1}で、既約多項式をx^2+x+1とすれば{0,1,x,x+1}の拡大体GF(2^2)が得られることはわかりました。
そこで、拡大体GF(2^2)をさらに2次拡大させたGF((2^2)^2)を求めたいのですが、既約多項式をX^2+X+b(10)=0としたとき、16個の元はどのように求められるのでしょうか。
また、GF((2^2)^2)の元も原始元のべき乗で表現できるのでしょうか。
数学専攻ではないので、できるだけ詳しく解説していただけたら幸いです。
質問の仕方が下手で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。
A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
なら、16 個の元は、
0, 1, x, x+1, y, y+1, y+x, y+x+1,
xy, xy+1, xy+x, xy+x+1, xy+y, xy+y+1, xy+y+x, xy+y+x+1
ですよね。
GF(4) は、Z/(4) と同型じゃないので、
x を b(10) と書く気持ちは解りませんが。
回答ありがとうございます。ビットのベクトルで考える場合、
0 → (0000)
1 → (0001)
y → (0100)
y+1 → (0101)
y+x+1 → (0111)
xy → (1000)
xy+1 → (1001)
・
・
・
と見ていいのでしょうか?
なんとなくわかった気がします。
No.1
- 回答日時:
↑のように
GF(2)[a] / (a^4+a+1) = GF(2^4)
で構成するのが簡明だけれども、
質問は、
GF(2^4) = GF(2^2)[y] / (f(y))
となるような GF(2^2)[y] の元 f(y) を挙げてほしい
ってことですよね。
GF(2^2) = GF(2)[x] / (x^2+x+1) = { 0, 1, x, x+1 }
の x と紛らわしくならないように
GF(2^2)[x] ではなく GF(2^2)[y] と書きました。
f(y) = y^2 + y + x なんて、どうですかね?
> 既約多項式をX^2+X+b(10)=0としたとき
b(10) は、二進数 "10" のつもりなんだろうけど、
それは GF(2^2) の元なんでしょうか?
この回答への補足
回答ありがとうございます。
質問の意図はおっしゃる通りです。
b(10)は二進数"10"でGF(2^2)の元です。
{ 0, 1, x, x+1 }のうちxにあたります。わかりづらくてすみません。
>f(y) = y^2 + y + x なんて、どうですかね?
はい、わかりやすく書くとこんな感じです。
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