No.4ベストアンサー
- 回答日時:
X(s)≡L[x(t)](s)≡∫(0<t<∞)dt・x(t)・exp(-s・t)とする
L[x’(t)](s)=s・X(s)-x(0)=s・X(s)-1
L[x”(t)](s)=s^2・X(s)-s・x(0)-x’(0)=s^2・X(s)-s+1
X(s)の定義式をsで微分すると
X’(s)=-∫(0<t<∞)dt・t・x(t)・exp(-s・t)
すなわち
L[t・x(t)](s)=-X’(s)
とくにx(t)としてx”(t)を選べば
L[t・x”(t)](s)=-L[x”(t)]’(s)=-(s^2・X(s)-s+1)’
=-s^2・X’(s)-2・s・X(s)+1
t・x”(t)+x’(t)+x(t)=0
の両辺をラプラス変換すると
-s^2・X’(s)-2・s・X(s)+1+s・X(s)-1+X(s)=0
すなわち
S^2・X’(s)+(s-1)・X(s)=0
これを解いて
X(s)=C・exp(-1/s)/s
ラプラス逆変換すればC=1が分かる
従って
X(s)=exp(-1/s)/s
No.3
- 回答日時:
x(t)=Σ(0≦n<∞)・C[n]・t^nとする
x’(t)=Σ(0≦n<∞)・C[n+1]・(n+1)・t^n
t・x”(t)=Σ(1≦n<∞)・C[n+1]・(n+1)・n・t^n
x(0)=1よりC[0]=1
x’(0)=-1よりC[1]=-1
従って
t・x”(t)+x’(t)+x(t)=
Σ(1≦n<∞)・(C[n+1]・(n+1)^2+C[n])・t^n
従って1≦nにおいて
C[n+1]・(n+1)^2+C[n]=0
従って0≦nにおいて
C[n]=(-1)^n/(n!)^2
従って
x(t)=Σ(0≦n<∞)・(-1)^n/(n!)^2・t^n
x(t)をラプラス変換して
X(s)=Σ(0≦n<∞)・(-1)^n/(n!)/s^(n+1)
X(s)=exp(-1/s)/s
No.2
- 回答日時:
X(s)=C・s・exp(-1/s)-2・s+2
においてx(t)がまともな関数になるにはC=2であるから
X(s)=2・s・exp(-1/s)-2・s+2
ラプラス逆変換して
x(t)=2・Σ(0≦k<∞)・(-1)^k/(k+1)!/k!・t^k
しかし
x(0)=1となるがx’(0)=-1/3であるので
結局どっかで間違えたみたいですね
No.1
- 回答日時:
X(s)≡L[x(t)](s)≡∫(0<t<∞)dt・x(t)・exp(-s・t)とする
X(s)の定義式をsで微分すると
X’(s)=-∫(0<t<∞)dt・t・x(t)・exp(-s・t)
すなわち
L[t・x(t)](s)=-X’(s)
L[x’(t)](s)=s・X(s)-x(0)=s・X(s)-1
L[(t・x(t))”]
=s^2・L[t・x(t)](s)-s・(0・x(0))-[(t・x(t))’](t=0)
=s^2・L[t・x(t)](s)-x(0)
=-s^2・X’(s)-1
t・x”(t)+x’(t)+x(t)=0
の両辺をラプラス変換すると
-s^2・X’(s)-1+s・X(s)-1+X(s)=0
すなわち
S^2・X’(s)=(s+1)・X(s)-2
これを解いて
X(s)=C・s・exp(-1/s)-2・s+2
これをラプラス逆変換して初期条件を使えばいいような気がしますが変な式になったのでどっかで間違えたかな?
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