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なぜ一次反応では、反応99.9% 起こるのに要する時間は反応が半分進行するのに要する時間の10倍なんでしょうか?

公式とかいろいろ見ましたが意味がわからないので、どなたかご教授お願いします…。

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A 回答 (5件)

一次反応は微分方程式で書くとdA/dt=-kAとかかれますね。

t=0の時の[A]の初期値をA0とすると上の微分方程式を解いてA=A0exp[-kt]となります。両辺の自然対数をとると
ln(A/A0)=-kt、t=-(1/k)ln(A/A0)=(1/k)ln(A0/A)
半減期はA/A0=(1/2)の時ですからその時の時間をt’とするとt'=(1/k)ln2≒0.693/k、これから
k=0.693/t'が得られます。これを元の式の入れるとA/A0=exp[-0.693(t/t')]となります。今99.9%反応が進んだとすると未反応物は0.1%残っていますからA/A0=0.001ですね。その時間をTとすると0.001=exp[-0.693(T/t')]で、これからT/t'を求めれば良いわけで、ln0.001=-0.693(T/t')⇒T/t'=(1/0.693)ln(1/0.001)=9.967≒10と半減時間の10倍になります。
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一次反応の反応物質の濃度変化は、反応物質の濃度を C、当該反応に係わる


反応物質の半減期を T、とすると
C=C_0・{(1/2)^(t/T)}
と表わされます。C_0 は、反応物質の初期の濃度です。

反応速度は、
-dC/dt=k・C
ですから、
k=(-dC/dt)/C
と表わせて、
dC/dt=(d/dt)〔C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]〕
=C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]・{ln(1/2)/T}
=-C・{ln(2)/T}
より、
k=(-dC/dt)/C=ln(2)/T
となります。

さて、反応が 99.9% 進行するというのは、単位時間あたりの反応速度の積分が、
全反応量の 99.9% ということで
〔∫[0→t]k・Cdt〕/〔∫[0→∞]k・Cdt〕=0.999
のことですね。

この反応量になる時の時間、t を半減期 T で表わしてみます。
∫[0→t]k・Cdt
=∫[0→t]k・C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]dt
=∫[0→t]k・C_0・{e^(-kt)}dt
={k・C_0/(-k)}・{e^(-kt)}[0→t]
=C_0・{1-e^(-kt)}
また、
∫[0→∞]k・Cdt={k・C_0/(-k)}・{e^(-kt)}[0→∞]
=C_0

∴ 1-e^(-kt)=0.999
e^(-kt)=0.001
T を用いて表わすと
e^{(t/T)・ln(1/2)}=(1/2)^(t/T)=0.001
t/T は半減期の何倍に当たるかを示しており、対数を取ると
(t/T)=log(0.001)/log(1/2)
=(-3)/(-0.3010)≒10

つまり、反応が 99.9% 進行するには、約 10 半減期かかる、
ということが示されました。
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半減期で2分の1になるので、その2倍の時間で4分の1になります。

3倍の時間では8分の1、・・・と考えれば10倍の時間で1024分の1になることがわかります。
ということは、おおむね0.1%が残っていることになり、99.9%進んだことになります。
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一次反応の微分方程式は


d[C]/dt=-k[C]
変形して
d[C]/[C]=-kdt
積分して
ln[C]=-kt+X Xは定積分の定数
[C]=exp(-kt+X)
[C]_0=exp(X) [C]_0は初濃度

[C]=[C]_0exp(-kt)
半減期は
1/2=([C]_1/2)/[C]_0=[C]_0exp(-kt_1/2)
ln(1/2[C]_0)=-kt_1/2
-ln2[C]_0=-kt_1/2
99.9%とは残り0.1%=0.001=1/1000
1/1000=[C]_0exp(-kt_1/1000)
ln(1/1000[C]_0)=-kt_1/1000
-ln1000[C]_0=-kt_1/1000
(t_1/1000)/(t_1/2)=ln1000[C]_0-ln2[C]_0
=ln1000-ln2=ln500=6.2146080984221917426367422425949…
10倍じゃないですね。大体0.1%って1/2の累乗じゃないし、10なんていうきれいな値になる筈ないんですよね。^o^
間違ってたらごめんなさい、しばらくやってない算数だし朝早いんで呆けてるから。
m(_ _)m
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一次反応A→Bというものです


今Aが100個あり1秒間に50%確立でBになるとします
  A
1秒後  50 ←半減期
2秒後  25
3秒後  12.5
・・・
10秒後  0.097

となります 秒数、確立を変わっても同じことになります
すべての半減期が99.9%になる1/10になるかは知りません
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Q半減期法とは?

熱力学の反応速度論という講義についての質問です。

レポートで「~を半減期法により求めろ」という問題がありました。半減期法とは何なのでしょう?

講義では「初濃度Cの物質の濃度が半分になるまでの時間を半減期τという」ということと、τの導き方ぐらいしか述べていません。1次反応の場合、

τ=(ln2)/k  (Kは速度定数)

となることは1次反応の速度式を変形すれば導くことができます。でも半減期法が何なのかわかりません。教科書にも載ってません。ネットで検索しても出てきません。一体、半減期法とはどのような解法のことをいうのでしょうか?

Aベストアンサー

私も「半減期法」という言葉は知らなかったのですが、どうやらこれは半減期の式を用いて反応速度定数kや反応次数nを求める方法のようです。

1次反応ならばτを
   τ=(ln2)/k
に代入してkを求めます。

n次反応ならば
   τ={2^(n-1)-1}/{(n-1)ka^(n-1)}
であるので両辺の対数をとって式変形すると
   lnτ=-(n-1)lna+ln[{2^(n-1)-1}/(n-1)k]
となります。これよりτとaを両対数プロットすることにより
傾きからnを求め、次いでそのnと切片の値を用いてkを求めることができます。

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む


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