線形写像のImfについて。

次の行列A,Bの線形写像fA,Bで与えられる像Im fa,fbと核Ker fa fbを求めよ

(1) A=　　-1　3　-4　　　　(2)　　　　　B= 1　1　2　-3
　　　　　　3　1　 7 　　　　　　　　　　　　1　-2　0　-3
　　　　　　3　5　 5　　　　　　　　　　　　2　-5　-2　-6


という問題なのですが、Ker fa ,fbはどちらも求めることができました。

しかし、Im f を求める前にIm fの定義が教科書をみてもよくわかりません。。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=598931
↑の過去ログを見て、定義はおいといて変換してみたところ
A=　　-1　　0　　0　　　　　B=　1　　0　　0　　0
　　13/14　　0　　0　　　　　　　0　-2/3　0　　0
　　　0　　14　　0　　　　　　　0　　0　　-6　　0


となり、rankA=2 rankB=3　となりました。

Im f はこの場合次元がそれぞれ2,3なので
(1)は行列Aの1列と2列、(2)は行列Bの1列と2列と3列
とおもい、答えを見てみると(1)はあっていたのですが
(2)だけR^3　となっていました。

まとめると、自分が聞きたいことは

・Im f を馬鹿な私に分かりやすく教えていただきたい。
・何故、(2)の答えがR^3なのか。
・やり方が間違っているところがあるか。
この三点です。

行列がみずらくてすみません。。。；
解説おまちしております。。。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/12/24 16:54

もっと素直に「Im(f)」の定義に戻りましょう．

(1)の場合，
f: R^3 -> R^3 で
f(x)=Ax ってところですか
この場合，Im(f)={ y ∈ R^3 | y=Ax，x ∈ R^3 }
です．
要は定義域全体がAでどういう集合に移るかです．
x=(x1,x2,x3)，y=(y1,y2,y3)とおくと
y1 = - x1 + 3 x2 - 4 x3 ---(1)
y2 = 3 x1 + x2 + 7 x3 ---(2)
y3 = 3 x1 + 5 x2 + 5 x3 ---(3)
とひとまず書き下せます．
ベクトルらしく書き方を変えます．
本来は縦ベクトルで書くべきですが書きにくいので横にします．
(y1 y2 y3)
= x1 (-1 3 3) + x2 (3 1 5) + x3 (-4 7 5)
です（行列から一気にこの表記にもってくることは容易ですが，
あえて泥臭くばらしています）．
さて，こう書いたときに，
a1=(-1 3 3) a2=(3 1 5) a3=(-4 7 5)とおいて，
これはもとの行列の列ベクトルですが，
a2 + 3 a1 = (0 10 14)
-2 a3 + 8 a1 = (8 -14 -10) + (-8 24 24) = (0 10 14)
なので（列について基本変形してるだけです．
実際基本変形してみてください），
a2 + 3 a1 = 2 a3 + 8 a1
a2 = 5 a1 + 2 a3
です
Im(f) は x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 (x1,x2,x3は任意）なので
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3
= x1 a1 + x2 (5 a1 + 2 a3) + x3 a3
= (x1 + 5 x2) a1 + (x3 + 2 x2) a3
と表わすことができます．
したがって，
Im(f) は基底が {a1 a3} の二次元ベクトル空間
と表現できます．
ここで要注意なのは，ベクトル空間の基底の取り方は
一意ではないということです．
したがって，別の基底を用いて解を書くことはもちろん可能です．
例えば(1)のIm(f)は実は基底としては
{a1 a2}でもいいでし，{a2 a3}でもOKです．
もっと他のものを持ってくることも可能です．

>Im f はこの場合次元がそれぞれ2,3なので
>(1)は行列Aの1列と2列

一般にはランクが2だからといって，行列の1列目，2列目が
Im(f)の基底になるなんてことはありません．自明な反例がすぐ
つくれます．こんなのです
0 0 0
0 1 0
0 0 1
ですので，面倒でも最初は練習だと思って
ここで書いたような「面倒な計算」を地道にこなした方がいいです．
そのうち「基本変形との関係」や
中学校以来のやってる「連立方程式の加減法」，
「ランクとイメージとカーネルの次元の関係」が
すとんと納得できるようになります．

別の考え方としては
行に関する基本変形をしてみてください．
そうすると今度は y1 y2 y3 の関係式がでてきます．
そうするとIm(f)は 6 y1 + 7 y2 - 5 y3 = 0 となります．
つまり
Im(f)={(y1 y2 y3) | 6 y1 + 7 y2 - 5 y3 = 0 }
です．
いろいろな表記がありますが，Im(f)そのものは一つです．

(2)に関しては
f: R^4 -> R^3 で
f(x)=Bx ですね
こっちは実は簡単で先にランクを求めて正解
ランクが3なんですから
Im(f)は3次元です．
ところが，fの行き先そのものが3次元のR^3ですので
Im(f)は「R^3の三次元部分空間」つまりR^3そのものというわけです．

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/12/24 03:39

rankが３ということは、行列Bの1列と2列と3列は線形独立ということです。

Im(B)は、行列Bの1列と2列と3列が張る線形空間なわけですが（質問を見る限りはここまではＯＫなんだと思います）、
独立な３本の３次元ベクトルが張る空間は、３次元空間Ｒ＾３全体になります。

この回答への補足

でも、それでしたら行列AはR^2となりませんか？？

補足日時：2007/12/24 13:58

この回答へのお礼

解説ありがとうございました。

お礼日時：2007/12/24 14:00