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No.1
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単振り子の相当量というのは「相当単位振り子の長さ」のことだと思います。
それは同じ振動周期を持つ単振り子の長さのことです。ボルダの振り子は剛体振り子の一種ですが、ワイヤの影響を無視した場合と無視しない場合について、相当長さの計算方法を紹介します。
【剛体振り子の相当長さ】
剛体振り子の周期 は
T = 2*π*√{ ( I + M*h^2 )/( M*g*h ) }
で表わされます [1]。M は剛体の質量、h は振動中心から剛体重心までの距離、g は重力加速度です。I は支点を中心としたときの慣性モーメントです。一方、単振り子の周期は
T = 2*π*√( L/g )
です[2]。L は振り子の長さですが、単振り子は大きさのない質点を考えているので、ワイヤ長さになります。
したがって、これらの周期が等しくなるような単振り子の長さ L は
L = ( I + M*h^2 )/( M*h ) --- (1)
となります。これが剛体振り子の相当長さになります。I や h は剛体の形や支点位置によって変わります。
【ワイヤの質量と慣性モーメントを無視した場合のボルダの振り子の相当長 】
ワイヤの質量を無視すれば、剛体の重心は球の重心位置になるので、振動中心から剛体重心までの距離 h は、支点から球の中心までの距離となるので、ワイヤの長さを lw、球の半径を r とすれば
h = lw + r --- (2)
となります。慣性モーメント I の、ワイヤの慣性モーメントを無視すれば、球の慣性モーメントだけになるので
I = M*(2/5)*r^2 --- (3)
です[3]。したがって、ボルダの振り子の相当長 L は、式(2), (3)を式(1)に代入して
L = ( I + M*h^2 )/( M*h ) = h + (2/5)*(r^2)/h = lw + r + (2/5)*(r^2)/( lw + r )
となります。
【ワイヤの質量と慣性モーメントを無視しない場合のボルダの振り子の相当長 】
ワイヤの質量を m とすれば、支点から重心までの距離 h は
m*( h - lw/2 ) = M*( lw + r - h )
の解で
h = [ { 1 + ( m/M )/2 }*lw + r ]/( 1 + m/M ) --- (4)
となります( この式で m/M = 0 としたのが式(2) )。ワイヤを棒とみなしたとき、その慣性モーメント I1 は
I1 = ( m*lw^3 )/3
であり [4]、球の慣性モーメント I2 は
I2 = M*(2/5)*r^2
で与えられるので、全体の慣性モーメント I は
I = I1 + I2 = ( m*lw^3 )/3 + M*(2/5)*r^2 --- (5)
となります。したがって、この場合の相当長 L は、式(4), (5)を式(1)に代入すれば計算できます。
[1] 剛体振り子の周期 http://ks001.kj.utsunomiya-u.ac.jp/~buturi/UUinO …
[2] 単振り子の周期(振幅が小さい場合) http://web.phys.chs.nihon-u.ac.jp/~ishida/Keisan …
[3] 球の慣性モーメント(3ページ目) http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/riki/mom …
[4] 一端を回転中心とした棒の慣性モーメント(2ページ目) 同上
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