ふりこ

中学受験理科でふりこの分野があるのですが、

糸の長さが４倍なら、一往復の時間は２倍になる

これは、生徒から聞かれたら
重力の影響だからと答えますが

自分は４倍→２倍が、なぜそうなるのか良く分かりません。

高校レベルでの回答をよろしくお願いします。

No.1 回答者： ashiato-li 回答日時： 2007/03/16 03:53

等加速運動の公式

v=v0+at ・・・１
x=v0t+1/2at^2 ・・・２
v^2-v0^2=2ax　・・・３

振り子の糸の長さをlと4lとする。
鉛直の状態から振り子を角度Θだけ持ち上げたとすると、
鉛直の状態から振り子は
l-lcosΘ
4l-4lcosΘ
位置が高くなったと考えられる。
持ち上げた位置から自由落下させ鉛直の位置までに得る速度は
公式3より
v=√2gl(1-cosΘ)
v=√8gl(1-cosΘ)
が求められる。
これを公式1に代入し時間tを求めると
t=√2l-(1-cosΘ)/√g
t=2√2l-(1-cosΘ)/√g
になり、糸の長さを4倍にすると時間は2倍になることが求められると思います。
途中式はかなり飛ばしています。

No.2 回答者： himara-hus 回答日時： 2007/03/16 10:51

定性的な（イメージ的な）説明であれば、以下のようでどうでしょうか。

長さの違う振り子を同じ角度に持ち上げて離した場合、わずかΔθだけ動くとき、加速度αは両者同じ、動く距離は振り子が長い方が４倍、それぞれの移動にかかる時間をｔ1（短いほう）、ｔ2（長いほう）とすると
（α/２）ｔ2＾２＝（（α/２）ｔ1＾２）Ｘ４
ｔ2＾２＝（ｔ1＾２）Ｘ４
ｔ2＝ｔ1Ｘ２
で、２倍の時間がかかる。

No.3 回答者： Linandtete 回答日時： 2007/03/16 12:10

長さLの振り子

最大振れ時の位置のエネルギーをmghとし、運動エネルギーをmv^2/2とします。振り子が最下位置を通過する時、位置のエネルギーは全て運動エネルギーとなりますから、mv^2/2=mgh より v^2=2gh が成立します。このときの v は「最大速度」です。
長さ 4Lの振り子で、同じ振れ角振動を考えますと、h は４倍になりますから v は（ルートを取って）２倍になります。また往復すべき道のりは４倍です。
４倍の道のりを２倍の速度で運動しますから周期は２倍になります。

この説明では「最大速度」だけを比較している点に弱点があります。#2 さんのように微小区間を全ての位置で考えて、厳密に検討すれば、速度は常に２倍となります。

No.4 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/16 12:42

中学受験ということは対象は小学生ですね。

考え方は＃１の方と同じなのですが式をあまり用いない考え方の方が良いかもしれないと思いました。
式の代わりにエネルギーが保存するという考えを用いています。

（１）物体を落下させると位置エネルギーが運動エネルギーに変わります。
（２）高さの変化が同じであれば落下の道筋によらず落下後の運動エネルギーは同じになりますので物体の速さは同じになります。（これは自由落下、斜面、振り子のどの場合にも成り立ちます。）
（３）高さが２倍になると位置エネルギーは２倍になります。
（４）速さが２倍になると運動エネルギーは４倍になります。

以上を踏まえて糸の長さを４倍にした場合を考えます。同じ角度の所から落下させたとします。
（イ）落下の高さの差、円周に沿っての距離は共に４倍になります。
（ロ）落下後の速さは２倍になります。

距離が４倍になっているのに速さは２倍にしかなっていません。時間は２倍かかることになります。

こんなのでどうでしょう。

上の考えでは速さは一番下でのものです。「途中の速さは？」という質問が出るかもしれません。その場合は平均の速さも２倍になっていると考えればいいでしょう。同じ角度からスタートすればスタートの時の加速度は同じです。角度が半分になったときの加速度も同じです。同じ角度の所ではどこでも速さは２倍になっています。

No.5 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/16 14:43

＃４です。

ちょっと気になったことがあって計算に時間がかかりました。
振り子の等時性（振幅が小さいとき）とのからみの質問が出るかもしれませんね。（等時性は説明が難しいです）
「糸の長さが同じで角度を４倍にする。上の考えだと時間が２倍になるのではないか？」という疑問です。角度を４倍にすると円周に沿っての距離が４倍になります。
この場合は角度が４倍になるとスタート時の加速度が４倍になっています。スタート時の角度の半分の所でも加速度は４倍です。速さも４倍になっています。スタート時の角度に対する割合が同じであればどの場所でも速さは４倍です。平均の速さも４倍です。距離が４倍になって平均の速さも４倍になりますので時間は変わらないということになります。
この食い違いがどこから出てくるかを考えました。
角度が４倍になると円周に沿っての距離も４倍になります。でも高さは４倍ではありません。角度が小さいという条件の時は１６倍になります。５°と２０°で計算すると１５．９倍になります。