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振り子の問題で、重りの重さを変えても、振れ幅?角度?を変えても、振り子の周期は変わらないとありましたが、その理由はなぜですか?
重りの重さは、なんとなくわかるのですが、なぜ振れ幅を変えても周期は変わらないのですか?
教えてください。

教えて!goo グレード

A 回答 (7件)

振り子の振れ幅と周期の関係は厳密に求められています。

重りを質点とした場合の式は下に挙げる通りです。これを使って1mの長さの振り子の周期を求めると次のようになります(0度では値がないというのは無視してください)。

角度   周期(秒)
 0  2.00708992315
 5  2.00804564415
10  2.01091782126
20  2.02248234754
30  2.04203094538
40  2.06999316329
50  2.10700880176
60  2.15397279226

振り子が止まってしまうまでの間ではほとんど差は見られないようです。それでも振れ幅が0度から5度に変わっただけで1日で40秒近くもずれが生じます。
「振り子」の回答画像7
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!!

お礼日時:2020/04/23 16:34

補足すると、振り子の慣性モーメント I は 振り子の長さをL おもりも重さをMとすると


I = ML^2
振れ幅θと重力による力のモーメント N は
N = -MgLsinθ
I(d^2θ/dt^2)=N=MgLsinθ
L(d^2θ/dt^2)=-gsinθ

sinθ≓θ

としてよいなら

(d^2θ/dt^2) = - g/Lθ

で単純な単振動の運動方程式になりますが
時不変な固定係数の線形微分方程式なので
θ = A cos(ωt + φ)

線形微分方程式の解の性質から
Aは任意なので振れ幅と周期は無関係。
#もちろん sinθ≓θ とみなしてよい範囲

ω=2π/T = √(g/L)
T = 2π√(L/g)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/23 16:44

変わりますよ。


ふれ幅がsinθ≒θ と見なして良い範囲では
重りにかかる力のモーメントがふれ幅に比例するので
ふれ幅に比例して速度も増え、周期は大体同じになります。
これは、θが30°を越えたあたりかな成り立たなくなり、
ふれ幅が増えると周期が長くなります。
実用的には等時性を求めるなら θ≦15°くらいで使うこと。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/23 16:45

振れ幅を大きくすると重りの移動距離は長くなります。

また重りは高くなりますので速く重りは動きますね。
するとふりこの一番下までの円運動での到達時間は変わらなくなります。

よって周期は変わらなくなります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/23 16:46

「振れ幅を変えても周期は変わらない」というのは正しくない。

「振れ幅がごく小さいうちは、振れ幅の影響はほとんどない」と言うのが正しい。
ご参考: https://www.jstage.jst.go.jp/article/jssep/36/0/ …

なお、ちょっと細工をして、本当に「振れ幅を変えても周期は変わらない」ようにした振り子というものも存在する。「サイクロイド振り子」で調べてみ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/23 16:44

それはガリレオが振り子の等時性を発見したからです。


それ以来振れ幅を変えても周期は変わらなくなりました。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/23 16:43

周期は長さで決まるからです。


ブランコを大きく揺らしても、小さく揺らしても周期が変わらないのと同じです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!

お礼日時:2020/04/23 16:42

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