単振り子の問題

長さL軽い糸の先に、質量ｍのおもりのついた単振り子があり、最下点において水平に速度ｖを与える。重力加速度ｇ、空気の抵抗は無視する
(1)糸がたるまずに振動するためのｖの条件を求めよ。
(2)糸がたるまずに回転運動するためのｖの条件を求めよ。

全然わかりません。
特にたるまない条件ってところが
ヒントをください。
おねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/22 05:51

こんにちは。

それではヒントをお教えしますね。

運動方程式を立てるときに、糸の張力Tも考慮してくださいね。

糸がたるまないとして運動方程式を立てます。

そうすると、糸の張力Tは、物体から振り子の支点に向かう方向に糸に沿って働きますよね。これがないと、物体はまっすぐ落下してしまうことになります。

運動方程式を解けば、Tの値も求まるわけですが、糸がたるまないときに、そのTが正の値になります。

Tが負の値になったとしたら、糸の張力が負になることは当然有り得ませんから、糸がたるまないとした仮定が成り立っていない状況です。

つまり、糸がたるまない条件は、数式で書くとT>0の条件です。
これに運動方程式を解いて求まったTの式を代入して考えればよいです。

No.4 回答者： ht1914 回答日時： 2007/07/22 18:21

＃３の解答は（１）（２）の両方とも間違っています。

＃１に書かれているＴ＞０という条件が全く考慮されていません。
再考をお願いします。

質問されている方は高校生だと思います。
高校物理の解き方でお願いします。

No.3 回答者： KENZOU 回答日時： 2007/07/22 14:58

半径Lの円周に沿って鉛直方向から角度θの位置に質点がいるとします。

接線方向の運動方程式はmLθ"=-mgsinθとなります。両辺にLθ'をかけて積分すると(1/2)m(Lθ')^2=mgLcosθ＋C。θ=0で速度v0(v=Lθ')はLω0とすると結局(1/2)m(Lθ')^2=(1/2)m(Lω0)^2-mgL(1-cosθ)。これを整理すると(Lθ')^2=(Lω0)^2-(2gL)(1-cosθ)=(Lω0)^2-(4gL)sin^2(θ/2)=4gL(v0^2/4gL-sin^2(θ/2))
θ=πで最高点に達します。このとき上式の右辺が正であれば回転し続けることになります。その条件はv0^2/4gL-sin^2(π/2)>0よりv0>2√ｇL。また，|sin^2(θ/2)|≦1であるから，v0^2<4gLならsin^2(θ/2)=v0^2/4gL
を満たすθのところで質点の速度が0となり，これを折り返し点として振動することになります。

No.2 回答者： ht1914 回答日時： 2007/07/22 06:18

私もヒントを

多分場面が飲み込めていないと思います。
振り子の問題ですが単振り子というイメージからは外れています。
糸の先におもりをつけて振り回して下さい。やってみるとわかります。

（１）振動するためには戻ってこないといけません。戻るときには一旦速度がゼロになります。ゼロになる位置によって糸がたるんだりたるまなかったりします。その境目は何処でしょうか。
（２）勢いよく回転させると円運動になります。円の最高点でたるまないという条件になりますね。円運動ですから向心力の考え方が必要ですよ。