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剛体振り子の周期

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  • 質問者：appleby-
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

剛体振り子の運動方程式　Ｉ（θの2回微分）＝－Ｍｇｈθ
から、普通に
周期Ｔ＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Ｔはどうやって求めたのでしょう？計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします！
Ｔ＝２π／ωと、ω＝（θの微分）を用いるのはわかるんですけど・・・。

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A 回答 (3件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： sanori
  • 回答日時：

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。


すなわち
dθ^2/dt^2 ＝ －Ａθ
（Ａ＝Ｍｇｈ／Ｉ）
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはｔの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ ＝ a・sin(ωt+c)
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)
もう１回ｔで微分すると
Ｉ ＝ dθ^2/dt^2 ＝ －a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
－a・ω^2・sin(ωt+c) ＝ －Ａ・a・sin(ωt+c)
よって
ω＝√Ａ＝√（Ｍｇｈ／Ｉ）
Ｔ＝２π／ω＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます！！
わかりました、単振動の式とみなして解くんですね！
大学生になって完全に忘れていました・・・
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました☆

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お礼日時：2004/10/06 19:42

No.3

  • 回答者： sanori
  • 回答日時：

＃１です。


誤字訂正します。

【誤】
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)

【正】
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ aω・cos(ωt+c)
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No.2

  • 回答者： cozycube1
  • 回答日時：

　まず、単振り子を復習して、その周期と長さの関係を思い出してください。


　次に、剛体振り子を復習し、「相等単振り子の長さ」（剛体振り子が、どのような長さの単振り子に相当するかというもの）の導き方を思い出してください。
　それができたら、単振り子の周期についての長さの項に、「相等単振り子の長さ」を代入してみてください。
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Aベストアンサー

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)＋Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)＋mh^2=2/5ma^2＋m(a＋l)^2になるのです。

平衡軸の定理については、定理ということでそのまま
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かなりゴチャゴチャします。

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ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
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重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

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重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

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Aベストアンサー

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

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平面上の振り子運動だと思うので、
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慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

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を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性...続きを読む

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円盤の慣性モーメント I = (1/2)Ma^2 + Mb^2
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以上から運動方程式は

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Q剛体の振り子　先端に質点があることが悩ませます

こんにちは、
かなりこんがらがっており、解答がないため、確認もできずもがいております。
図の通りなのですが、ロッドの片側が振り子の支点でして、もう片側に質点がついております。
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4) また、振り子にかかった角力積 a...続きを読む

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1)
OKです。

2)
>初期位置でのエネルギー総和が最下点での運動エネルギーに等しいということで
>(MgL)/2 + mgL　= (1/2)(1/3)(ML^2)(V/L)^2 + (1/2)mV^2

結果的に右辺を２項に分けたのでは，全慣性モーメントを求めたかいがありません。
1/2・Iω^2 のままでよいのです。直接ωについて解きましょう。

3) 4)
ＯＫです。

5)
>衝突前の角運動量 - (4)の角力積 = 衝突後の角運動量　であり,

向き付きで記述すれば，
衝突後の角運動量 - 衝突前の角運動量 = 角力積

意識されているとは思いますが，方向に注意してください。

6)
>衝突後の運動エネルギーの総和
>(1/2)N x (2 m/sec)^2 + (1/2)I (ω'）^2 + (1/2)m(ω'L)^2

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Q実体振り子（物理振り子）って何？

実体振り子とは何ですか？
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Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします！

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慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
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=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

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J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0～Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q剛体振り子の問題について

質量M、半径aの一様な球体を質量の無視できる長さlの細い直線棒の先に固定して、振り子をつくる。この振り子を完全に静止させ、質量mの小さな銃弾を撃ち込んだ。銃弾は球体の中心に向かって水平に速度ｖで撃ち込まれ、球体中央部に埋まったままの状態で振り子が微小振動を開始した。この微小振動の最大振れ角を計算せよ。ただし、銃弾との衝突による球体の変形や重心位置の変化、銃弾の大きさはいずれも無視できるとする。尚、銃弾が撃ち込まれる前の振り子の慣性モーメントをIo、水平軸から球体の中心までの距離をd(=l+a)と表記してよい。

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V=mv/(m+M)
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エネルギー保存則から
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慣性モーメントは

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という足し算なので、

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