2質点の振り子の固有周期

固有周期Tの振り子の先の質点部分に同じ振り子がついていたとします。（例えば、長さLの紐の先に質点ｍがついていて、その先にまた長さLの紐の先に質点ｍがついている、といった質点が２つあるような振り子です。）この2質点振り子の１次モードの固有周期はどうなりますか？２Tでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/04/04 23:37

いわゆる，二重振り子の問題ですね．

根元の振り子と先っぽの振り子が同じ振動面を振動するとは限りませんが，
簡単のため，両方の振り子の振動面は同じ平面と考えます．
また，角振幅も小さいとします．
そうしないと，周期が振幅に依存してしまい，固有周期になりません．

この仮定の下で，固有角振動数ωは
(1)　　(ω1) = (g/L)(2-√2)
(2)　　(ω2) = (g/L)(2+√2)
の２つです．
ｇは重力加速度．
振り子が２つだから，自由度が２で，
２つの振り子の適当な線形結合が固有モードになっているわけです．
周期は
(3)　　(T1) = 1/2π(ω1)
(4)　　(T2) = 1/2π(ω2)
です．
単純振り子は，ω=(g/L)，T = 1/2πω，ですから，
(3)(4)のどちらも 2T にはなりません．

この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考になりました。

お礼日時：2001/04/05 19:02

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2001/04/05 10:49

siegmund です．

あちこちミスプリがありましてすみません．
ルートが抜けたり，分数の／の場所が違ったり...
ルートはどこまでかかるのかわかりづらいので，
左辺を２乗にしようと訂正していたら，肝心の２乗を忘れてしまいました．

guiter さんのご指摘の通りです(ご注意ありがとうございました)．

No.2 回答者： guiter 回答日時： 2001/04/05 01:12

ほとんど siegmund さんが説明しておられるので蛇足になりますが、

少しミスがあるようなので一応訂正しておきます。

(ω1) = √{(g/L)(2-√2)}
(ω2) = √{(g/L)(2+√2)}

(T1) = 2π/(ω1)
(T2) = 2π/(ω2)

ですね。

あと、固有角振動数ω1のとき２つの質点は同じ方向に
固有角振動数ω2のとき２つの質点は逆方向に振動しています。
また、上下の２本の紐が鉛直方向となす角をそれぞれθ、φとすると
　φ＝±√2 θ　（＋はω1のときで同方向、－はω2のときで逆方向）
という関係になっています。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。参考になりました。

お礼日時：2001/04/05 19:03