力学的エネルギーの保存・弾性力（釘が打ってある振り子）

この問題は、いくら考えていても分かりません：

水平な天井の点Oから吊るされた、長さL、質量mの振り子がある。振り子の最下点Bから高さhの点Cには、釘が打ってある。振り子を鉛直線から角度θの点Aから静かにはなした。

糸がたるむことなく振り子が最高点Dを通り、釘に巻きつくための、θが満たすべき条件は？
答えは：cosθ<=1-(5h/2L)

振り子が動くにつき、何が、どう変わるかを、説明していただけないでしょうか。

質問ばかりで申し訳ありませんが、解説していただければ、ありがたいです。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： GOOODZILLA 回答日時： 2019/07/02 06:52

簡単に考えて、「動いてる最中の運動エネルギー」は考えなくていいんじゃない

位置エネルギーで言えば、
Aの位置がDの位置より高ければ、振り子の玉はD点より右に行くので結果、巻きつく
ということなんじゃない

回答を遡れば
(質問者さん同様、図中の小文字l(エル)は大文字で表します)

cos θ=OD / L
ところでOD=L－2kなのでこれを代入すると
cosθ=(L-2k)/L
　　　　=(L/L)-(2k/L)
　　　　=1 - 2k

θがこの時の値、より大きければ
振り子の玉の位置エネルギーが充分大きいので
点Dを右に越えることができ、結果巻きつく。

「たるまずに」を真面目に考えるとその瞬間の角速度とか遠心力が
重力に充分逆らえる状態を維持するのか、とか要りそうだけど
回答は六択なのでそんなの無視していいのではないかと。

No.2 回答者： GOOODZILLA 回答日時： 2019/07/02 07:02

すみません確認不足で思い切り間違えてました

誤＞　　　　=(L/L)-(2k/L)
誤＞　　　　=1 - 2k

正＞　　　　=L/(L-2k)
正＞　　　　=1 - 2k /L

正解は⑤なんじゃない？

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/02 09:42

糸が釘に巻き付くためには、ＡがＤよりも高い位置であるだけではだめで、Ｄを通過する時点で「糸の張力が正の値」で下りの回転軌道に入る必要があります。

そうでないと、最高点Ｄで糸がたるんで落下することも起こり得ます。
言葉でいえば、Ｄを通過するときの遠心力が自重の重力よりも大きくなければいけません。（ループ型のジェットコースターの最高点を落下しない速度で通過しなければいけなのと同じです。そこで止まったら落ちます）

つまり、
・Ｂでの速度を Vb
・Ｄでの速度を Vd
とすれば、各々のエネルギー保存より（空気の抵抗や摩擦は考えません）

　(1/2)mVb^2 = mgL(1 - cosθ)　　　　　　　①
　(1/2)mVb^2 = (1/2)mVd^2 + mg*(2h)　　②

そして、Ｄでの糸の張力が正である、つまり「遠心力が重力よりも大きい」ということで

　mVd^2 /h ≧ mg　　　③

この条件から求めます。

①②から
　mgL(1 - cosθ) = (1/2)mVd^2 + mg*(2h)
→　gL(1 - cosθ) - 2gh = (1/2)Vd^2　　　　　④

③より
　Vd^2 ≧ gh
なので、④は
　　gL(1 - cosθ) - 2gh ≧ (1/2)gh
→　1 - cosθ ≧ (5/2)h/L
→　cosθ ≦ 1 - (5/2)h/L

この回答へのお礼

本当にありがとうございました！
なるほどね…そう難しく考える必要がなかった〜:D

お礼日時：2019/07/06 20:48

No.4 回答者： GOOODZILLA 回答日時： 2019/07/02 14:59

No.1,2です。

No.3さん＞そうでないと、最高点Ｄで糸がたるんで落下することも起こり得ます。

なるほど。私の考えは浅はかでした。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/04 01:50

①D点で遠心カ≧重カ という条件でD点での速度の下限を求める。

②力学的エネルギー保存則から、①を満たすのに必要なAのBに高する
高さの下限を求める。
③②からθの下限を求める。

力学的エネルギー保存則を知っていれば
瞬殺だよ。

この回答へのお礼

回答をありがとうございました；）

お礼日時：2019/07/06 20:49