剛体振り子の運動方程式の導出

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質問者：gyuuhire
質問日時：2007/06/20 19:25
回答数：1件

剛体振り子の運動方程式　Ｉ（θの2回微分）＝－Ｍｇｈθ
の導出はどうすれば良いのでしょうか？

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回答 (1件)

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No.1

回答者： Mr_Holland
回答日時：2007/06/20 19:53

　運動方程式の右辺は、＋θ方向を正とするモーメントを書けばよいので、

　　Ｉ(d^2 θ/dt^2)＝－Ｍｇ・sinθ×ｈ
となりますが、振動角θが十分小さいときは、
　　sinθ≒θ
と近似することができて、運動方程式を
　　Ｉ(d^2 θ/dt^2)＝－Ｍｇｈ・θ
と書き換えることができます。

　ここまで書いて思いましたが、ひょっとして質問の趣旨は、－Ｍｇ・sinθ　の求め方ですか？
　だとしたら、重力Ｍｇを振り子の腕と平行な成分と垂直な成分に分力して、その垂直な成分だけを取り出せば、－Ｍｇ・sinθ　が得られます。あとは、モーメントなので、その力が掛かっている腕の長さｈをかけて、－Ｍｇ・sinθ×ｈ　が求められるということです。

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！わかりやすい説明のおかげで理解することができました。今回初めて質問したのですが親切な人もいるんだなぁと思いました！ありがとうございました！

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お礼日時：2007/06/21 01:15

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Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 ＝－Ａθ
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これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはｔの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ ＝ a・sin(ωt+c)
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)
もう１回ｔで微分すると
Ｉ＝ dθ^2/dt^2 ＝－a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
－a・ω^2・sin(ωt+c) ＝－Ａ・a・sin(ωt+c)
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Aベストアンサー

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　　y
　　↑
　　・→x
　　　＼
　　　→＼
　　　θ　＼
　　　　　　●

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x= l sinθ　　(1)
y= -l cosθ　　(2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
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ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ　　(3)
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sinθ≒θ　　(4)
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ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ　　(5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α}　←Cは定数　　(6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2)　←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1　←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}　　(7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)　　(8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt　　(9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2　←C2は積分定数　　(10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}　　(11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}　　(12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)　　(13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

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