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<<単振り子>>最下点通過のときの糸の張力？

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  • 質問者：lemon9
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

はじめまして。高校生のlemon9です。
高校物理の質問があって投稿しています。
【問題】
糸の一端に物体をつけ他端を天井の一箇所に固定して、
糸が鉛直方向と60゜(=θ)を成す位置から振らせる。
(単振り子の状態)
物体が最下点を通過するとき、物体に働くすべての力とその大きさは?


という問題で、働く力は、
●糸の張力=T　　●重力=mg
ここまでは分かりました。

しかし、模範解答によれば、
"この2力の間には、T=2mgなる関係が存在する"
ということで、そこが分からず困っています。
学校の先生は高校物理IIの知識を使うのだとおっしゃっていたのですが、自分の持ち合わせの教材が物理Iまでのものなので、解決することが出来ませんでした。

さらに、θ=90゜のときの最下点の張力についても教えて頂けたら嬉しいです。お願いいたします(__)

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A 回答 (4件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： BookerL
  • 回答日時：

　まず、振り子の糸のの長さを L 最下点での速度を v とすると、力学的エネルギーの保存から


(1/2)mv^2=mg(1/2)L
となり、後の計算のためにこれを mv^2=mgL と変形しておきます。

　最下点では半径 L の円運動をしており、おもりには mv^2/L だけの向心力（上向き）が働いています。（ここは 物理II の内容です）

　この向心力は、おもりに働く張力T（上向き）と重力mg（下向き）によって生じているので、

T-mg=mv^2/L

となります。この式に先の mv^2=mgL を使って変形すれば T=2mg が得られます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!!
丁寧に導き方まで示して頂いて本当に助かりました。
力学的エネルギー保存則を使うのは、
思いつかなかったので、本当に感謝です(__)

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お礼日時：2007/10/10 18:46

No.4

  • 回答者： BookerL
  • 回答日時：

>θ=90゜のときの最下点の張力について



こっちもありましたね。

θ=60°のときの力学的エネルギー保存の式 (1/2)mv^2=mg(1/2)L が
θ=90°になれば (1/2)mv^2=mgL になりますね。あとは同じようにやります。
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この回答へのお礼

繰り返し、ありがとうございました(__)
θ=90゜のときのT=3mgについても自力で導くことが出来ました。
θの値を30゜、45゜などでも確認して、
しっかりとこの考え方を身に付けたいと思います。
本当にありがとうございました!!

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お礼日時：2007/10/10 18:47

No.2

  • 回答者： chiezo2005
  • 回答日時：

振り子運動では錘の速度に応じた半径Lの円運動と考えられますから，向心力がはたらきます。


最下点での錘の速度から必要な向心力を重力にプラスする必要があります。
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この回答へのお礼

回答感謝します(__)
向心力というものについて、初めて考える機会を得ました。
自分でしっかり勉強しようと思います!
T=2mgが導けました。
ありがとうございました！

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お礼日時：2007/10/10 18:44

No.1

  • 回答者： Willyt
  • 回答日時：

糸の張力は任意の位置での糸の張力は錘りの速度をＶ、糸の長さをＬとすれば


　ｍｖ^2／Ｌ　です。これは遠心力と呼ばれる慣性力に釣り合った力です。
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この回答へのお礼

回答感謝します(__)
遠心力について自分で勉強してみようと思います。
遠心力はT-mgから導かれ・・・と、自分でT=2mgを確認することが出来ました!
ありがとうございました。

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お礼日時：2007/10/10 18:42

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Q単振り子の運動方程式

重力加速度ｇ、質量m、紐の長さｌ、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"＝-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか？

軌道にそってｘ軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ　　軌道に沿った運動方程式？
⇔mlθ"=-mgsinθ　　どういう座標系の運動方程式なの？
そしてこれの一般解はどういう風になりますか？
初期条件としてt=0でθ＝φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

　　y
　　↑
　　・→x
　　　＼
　　　→＼
　　　θ　＼
　　　　　　●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ　　(1)
y= -l cosθ　　(2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ　　(3)
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しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ　　(4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ　　(5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α}　←Cは定数　　(6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
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愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2)　←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1　←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}　　(7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)　　(8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt　　(9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2　←C2は積分定数　　(10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}　　(11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}　　(12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)　　(13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

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*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

　　y
　　↑
　　・→x
　　　＼
　　　→＼
　　　θ　＼
　　　　　　●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ　　(1)
y= -l cosθ　　(2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

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物理の振り子の問題で、おもりを離した直後の張力を求める問題なのですが、
私は鉛直方向の力のつり合いから、Tcosθ=mgとしたのですが、
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Aベストアンサー

多分、おもりを離した直後は静止しているから、だから「力のつり合い」と考えたのでしょうね(^^;)
そこで、力のつり合いが成り立つときの物体の運動を確認しておきましょう(^^)
力がつり合っているとき、
１）静止している物体は、静止を”続ける”
２）運動している物体は、等速直線運動を続ける
でしたね(－＿－)
この問題では、おもりを離した後、一瞬おもりは静止していますが、静止を「続ける」わけではありませんね(◎◎！)
したがって、この問題を力のつり合いで解くのは間違っているんですね(^O^)
じゃあ、どうやって解くかと言いますと、おもりは振り子運動を始めますが、
振り子運動は、”等速”ではない、円運動の一部になっていますね(^^)
そこで、思い出して欲しいのですが、円運動が”等速”でなくても、
円運動の各瞬間は、等速円運動であると考えて式を立てることが出来ましたね(－＿－)
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T－mgcosθ=m・(0^2/r) = 0　　何故なら、おもりを離した直後のおもりの速さは0 だから
これより、
T=mgcosθ
となります(^^)

多分、おもりを離した直後は静止しているから、だから「力のつり合い」と考えたのでしょうね(^^;)
そこで、力のつり合いが成り立つときの物体の運動を確認しておきましょう(^^)
力がつり合っているとき、
１）静止している物体は、静止を”続ける”
２）運動している物体は、等速直線運動を続ける
でしたね(－＿－)
この問題では、おもりを離した後、一瞬おもりは静止していますが、静止を「続ける」わけではありませんね(◎◎！)
したがって、この問題を力のつり合いで解くのは間違っているんですね(^O^)
じゃあ、ど...続きを読む

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。

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Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式　Ｉ（θの2回微分）＝－Ｍｇｈθ
から、普通に
周期Ｔ＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Ｔはどうやって求めたのでしょう？計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします！
Ｔ＝２π／ωと、ω＝（θの微分）を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 ＝ －Ａθ
（Ａ＝Ｍｇｈ／Ｉ）
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはｔの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ ＝ a・sin(ωt+c)
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)
もう１回ｔで微分すると
Ｉ ＝ dθ^2/dt^2 ＝ －a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
－a・ω^2・sin(ωt+c) ＝ －Ａ・a・sin(ωt+c)
よって
ω＝√Ａ＝√（Ｍｇｈ／Ｉ）
Ｔ＝２π／ω＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）

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Q振り子運動が円運動に変わる？

次のようなクイズが新聞にのっていました。
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糸が短くなれば、振り子の振れ方は速くなり、最後は円運動に変わる。
そのため糸は棒に何回も巻きつき、おもりの落下を途中でとめる。
振り子の周期がどんどん短くなるとなぜ円運動になるのか理解できません。
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よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

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具体的には、
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（これも、直感的にわかりますよね？）
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以上、ご参考になりましたら。

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http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf

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Q蒸気圧ってなに？

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか？具体的に教えてください。

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蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は０ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ（おおよそ、0.02気圧程度）の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約５分の４が窒素で、約５分の１が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は０ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ（おおよそ、0.02気圧程度）の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む

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Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは？

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか？
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか？

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を１つの大きな分子（巨大分子）とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね（＾＾；
確かにこの２つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素ＳｉＯ2の場合も
Ｓｉ原子とＯ原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の１つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドＣ
Ｃ原子の４個の価電子が次々に４個の他のＣ原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛Ｃ
Ｃ原子の４個の価電子のうち３個が次々に他のＣ原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
（多分この２つは教科書にも載っているでしょう。）
●ケイ素Ｓｉ
●炭化ケイ素ＳｉＣ
●二酸化ケイ素ＳｉＯ2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を１つの大きな分子（巨大分子）とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね（＾＾；
確かにこの２つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
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