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動滑車を使うと、動く距離、速さ、加速度の全てが半分になるとありますが、イメージが湧かずに困惑しています。なぜそうなるのかを説明していただきたいです。また、式的に証明することができるのでしょうか。

A 回答 (5件)

滑車は自由落下とは全く関係ありません。



まず定滑車で、荷物(重さはどうでもよい)を高さXだけ時間tを掛けて引き上げると
します。その時の滑車の速度v1(=引き綱の速度)は
v1=X/t となります。

次に動滑車で、荷物を高さXだけ引き上げるとします。他の方の引用された図から
明らかな様に、その時の引き綱が引っ張られる長さは2Xです。この引っ張りを
綱の速度が同じになるように引くと2tの時間が掛かります。
滑車の速度v2はこの場合は、

v2=X/(2t)=1/2*(X/t)=(v1)/2

等加速度運動と考えると、速度vと加速度αの間には
v=αt
の関係があります。
これから
v1=α1*t → α1=v1/t
v2=α2*t → α2=v2/t=(v1)/2/t=(1/2)(v1/t)

つまり
α2=α1/2
これから、
同じ速さで綱が引かれる定滑車と動滑車の運動を較べた場合で、
荷物が定加速度運動をする場合は、動滑車(荷物)の加速度は定滑車による
場合の半分となる。
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動く距離と、速さはなんとなくそのようなイメージが湧きますが、加速度がそうなるとはイメージがつきません。



天井にロープを固定し、垂らしたロープを動滑車に通し、その動滑車にフックが付いていてそのフックに荷物を掛けて床に置く。
そのロープの先端を天井に付けてある定滑車に通して、ロープを床まで垂らす。
人がこのロープをピンと張るまで手繰り寄せて準備完了とします。
ロープの先端を人が持っていて、そのロープは天井の定滑車をとおり、それは、荷物をつけた動滑車を経由して、固定された天井につながっているとします。ロープはピンと張っていて、荷物は今まさに床から離れるか離れないかの状態にあります。

ここまでのイメージはよいですか?

そこから、①荷物をゆっくり持ち上げていく場合②天井ギリギリまで荷物を持ち上げた状態から、人がロープから手を放し荷物を自由落下させることを考えます。

動く距離というのは、荷物の動く距離とロープが移動する距離があります。床と天井の距離は(H)にしましょう。

荷物を床から天井までゆっくり持ち上げれば、荷物の移動距離は H 、人が手繰り寄せたロープの長さは 2H です。

人の代わりになにか機械のようなものでロープを手繰り寄せようとしたら、これはロープを一定の速度で巻き取るでしょうか?それとも、一定の力で加速度てきに巻き取るものでしょうか?

一番簡単に思考実験するには、天井まで持ち上げられた荷物をロープから手を離したあとの自由落下で考えるのがよいのかも知れません。ロープのどこかに赤いテープを巻いて、その印の時間に対する移動距離を調べないといけないですね。

荷物の自由落下は H = 1/2・g・t^2
ロープの印の移動は 2H = 1/2・a・t^2

これは、同時に起きているので、t^2 を消去できそうです。

t^2 = 2H/g = 4H/a

a = (4H)/(2H)・g

a = 2・g

ロープの印の加速度(a)は荷物の加速度(g)の 2 倍のようです。
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例えば重さ100gの重りをひもの全長10cm(片方5cm)の動滑車で吊るしている図を描いて、その横に1cmだけ重りを釣り上げた図を描いてみてはどうでしょう?


ひもの両端は何cm変わりましたか?

天井に固定されている側は重りの半分の重さは持ってくれますが、それ以外の仕事は全くしません。
(引っ張り“上げる”ことはしない)
つまり重りを1cm引っ張り上げようとするなら、2cm分を引っ張り上げなきゃならんということです。
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じっくり見てください。


http://chu.benesse.co.jp/qat/8257_r.html
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動滑車を使うと、ワイヤーないしロープ2本(滑車の両側)に力がかかる様により、それに滑車の移動距離が1/2 になるからなのですがね。

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