次元解析について、 例えば振り子の周期について次元解析によって周期が√L/gに比例するとわかるらしい

次元解析について、
例えば振り子の周期について次元解析によって周期が√L/gに比例するとわかるらしいのですが、なぜこうなるとわかるのですか？
比例定数の次元を調整すれば他にもl/g^2に比例する場合とか無限に考えることができると思うのですが、なぜ絞り込めるのですか？
また例えばv＝tなんかの式があったとして、tの比例定数1が次元を調整すれば、いくらでも成り立つ場合はあると思うのですが、なぜ試験などで次元が異なるので誤りだと判断できるのですか？
比例定数は明示しなければならないなどのルールがあるのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/25 23:00

＞また試験で間違いを減らすことができるのは既存の法則で考えた時、

>新たな定数をそのような場面で用いる可能性は薄いからm＝aなどといった式は
>排除できる可能性が高いという感じですか？

普通運動方程式を立てたら任意の比例定数なんて持ち込みません。
不要だからです。次元は普通に物理法則に基づいて式をたてれば
勝手に合います。合わなければミスしているのです。

そういう塩梅ですから次元による検算は勘違いやミスの検出に
非常に役に立ちます。普通無意識に式を書きながらやってますね(^^;

この回答へのお礼

>普通運動方程式を立てたら任意の比例定数なんて持ち込みません。
たしかにそうですよね。
既知の物理法則から量を求める作業しかしていないし、新たな法則を見つけるような状況に出くわすわけがないですね。

お礼日時：2017/07/26 22:09

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2017/07/26 12:31

振り子の構成要素を見ると、周期と関係があるかもしれないなというものは

　　振り子の長さ L (m)
　　振り子の重さ M (kg)
　　重力加速度 g (m/(s^2))
ぐらいでしょ。で、これらを組み合わせて
　　周期T (s)
を作ろうとすれば
　　L/g (s^2)
の平方根をとるしかない。

　勝手な係数Cを持ち込んで、たとえば
　　T = C M (s)
とやったとすると、Cの単位は (s/kg)でなくてはならない。すると、上の議論と同じことで、L,M,gを組み合わせて(s/kg)を作ろうとすれば
　　C = (√(L/g))/M
となるから、結局元に戻る。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/25 22:01

「わかる亅じゃなくて、手がかりになる程度。

きちんと方程式解かないと駄目ですよ。

方程式の骨格が決まれば、登場人物は決まり、気ままに比例定数なんて
持ち込めないので、自ずと形が次元から見えてくる。その程度のものです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
気ままに比例定数を持ち込めないというのは、比例定数を持ち込む行為が新たな物理法則を見つけることであり、既存の物理法則で説明できる可能性が高いから、比例定数を用いない方法で次元が合う形になる可能性が高いという解釈でいいですか？
また試験で間違いを減らすことができるのは既存の法則で考えた時、新たな定数をそのような場面で用いる可能性は薄いからm＝aなどといった式は排除できる可能性が高いという感じですか？

お礼日時：2017/07/25 22:11

No.1 回答者： airl0710 回答日時： 2017/07/25 20:03

200円＝50日などがあり得ないように、両辺の単位（次元）は同じになります。

式で見るのではなく、その物理量の単位を文字式と見て比較してみてください。
周期Tの単位はsです。
Lは長さでm、gは加速度でm/s^2です。以上から√Ｌ/gは√m/(m/s^2)となり、＝sとなり、周期と次元が一致していることがわかります。
T＝無次元定数倍√Ｌ/gとなります。