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次元解析について、 例えば振り子の周期について次元解析によって周期が√L/gに比例するとわかるらしい

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  • 質問者：たろお
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

次元解析について、
例えば振り子の周期について次元解析によって周期が√L/gに比例するとわかるらしいのですが、なぜこうなるとわかるのですか？
比例定数の次元を調整すれば他にもl/g^2に比例する場合とか無限に考えることができると思うのですが、なぜ絞り込めるのですか？
また例えばv＝tなんかの式があったとして、tの比例定数1が次元を調整すれば、いくらでも成り立つ場合はあると思うのですが、なぜ試験などで次元が異なるので誤りだと判断できるのですか？
比例定数は明示しなければならないなどのルールがあるのですか？

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A 回答 (4件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： tknakamuri
  • 回答日時：

＞また試験で間違いを減らすことができるのは既存の法則で考えた時、


>新たな定数をそのような場面で用いる可能性は薄いからm＝aなどといった式は
>排除できる可能性が高いという感じですか？

普通運動方程式を立てたら任意の比例定数なんて持ち込みません。
不要だからです。次元は普通に物理法則に基づいて式をたてれば
勝手に合います。合わなければミスしているのです。

そういう塩梅ですから次元による検算は勘違いやミスの検出に
非常に役に立ちます。普通無意識に式を書きながらやってますね(^^;
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この回答へのお礼

>普通運動方程式を立てたら任意の比例定数なんて持ち込みません。
たしかにそうですよね。
既知の物理法則から量を求める作業しかしていないし、新たな法則を見つけるような状況に出くわすわけがないですね。

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お礼日時：2017/07/26 22:09

No.4

  • 回答者： stomachman
  • 回答日時：

振り子の構成要素を見ると、周期と関係があるかもしれないなというものは


　　振り子の長さ L (m)
　　振り子の重さ M (kg)
　　重力加速度 g (m/(s^2))
ぐらいでしょ。で、これらを組み合わせて
　　周期T (s)
を作ろうとすれば
　　L/g (s^2)
の平方根をとるしかない。

　勝手な係数Cを持ち込んで、たとえば
　　T = C M (s)
とやったとすると、Cの単位は (s/kg)でなくてはならない。すると、上の議論と同じことで、L,M,gを組み合わせて(s/kg)を作ろうとすれば
　　C = (√(L/g))/M
となるから、結局元に戻る。
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No.2

  • 回答者： tknakamuri
  • 回答日時：

「わかる亅じゃなくて、手がかりになる程度。


きちんと方程式解かないと駄目ですよ。

方程式の骨格が決まれば、登場人物は決まり、気ままに比例定数なんて
持ち込めないので、自ずと形が次元から見えてくる。その程度のものです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
気ままに比例定数を持ち込めないというのは、比例定数を持ち込む行為が新たな物理法則を見つけることであり、既存の物理法則で説明できる可能性が高いから、比例定数を用いない方法で次元が合う形になる可能性が高いという解釈でいいですか？
また試験で間違いを減らすことができるのは既存の法則で考えた時、新たな定数をそのような場面で用いる可能性は薄いからm＝aなどといった式は排除できる可能性が高いという感じですか？

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お礼日時：2017/07/25 22:11

No.1

  • 回答者： airl0710
  • 回答日時：

200円＝50日などがあり得ないように、両辺の単位（次元）は同じになります。

式で見るのではなく、その物理量の単位を文字式と見て比較してみてください。
周期Tの単位はsです。
Lは長さでm、gは加速度でm/s^2です。以上から√Ｌ/gは√m/(m/s^2)となり、＝sとなり、周期と次元が一致していることがわかります。
T＝無次元定数倍√Ｌ/gとなります。
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Ｎｏ４です(^^)
いえいえ、理系はしつこいくらいが丁度良いです・・・異性には嫌われますが(^^;)

dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt =0
は　z=f(x,y)=c　c:定数　を考えているからです(´∀｀)
見やすく　z=c　としておくと、dz/dt=0　ですよね(－＿－)
示したかったのは、等高線にあたるz=c とgrad z が直交する事ですから、z=c を考えたんですね(´ω｀*)

dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt　ですが、正確な証明は数学の教科書・参考書にゆずりたいとおもいます・・・「偏微分」の所に載ってますよ(^^3)
ここでは、”たとえ話”をしておきますね(・ε・´)
z=(t－1)^3　をt で微分する場合を考えます・・・つまり、dz/dt ですね(～～;)
右辺を展開して微分してもいいですが、これは面倒ですよね・・・そこで、”お決まり”の技を使います・・・そう、置換です(^^@)
x=t－1　とすると、dx/dt=1
また、dz/dx=3x^2
したがって、dz/dt=dz/dx・dx/dt=3(t－1)^2　ですね(((－＿－ )
さらに、面倒な式を考えて、z=(t－1)^3 + (5t－3)^5 をt で微分してみましょう(*・ε・*)
これは、もちろん　(t－1)^3 と(5t－3)^5 を別々にt で微分して、その結果を足したものが dz/dt ですね・・・当たりまですね(^^;)
(t－1)^3　を微分した結果は分かっていますので、(5t－3)^5 を微分しますね(・ー・)
y=5t－3　と置いて、dy/dt=5　∴d{(5t－3)^5}/dt=d(y^5)/dt=d(y^5)/dy・dy/dt=5y^4・5=25y^4=25(5t－3)^4　ですね(^^A)
まあ、この最後の式はどーでもいいんですけどねΨ(｀∀´)Ψ
つまり、z は　z=x^3 + y^5　になりますので、
dz/dt=d(x^3)/dx・dx/dt + d(y^5)/dy・dy/dt って書けますね(◎◎！)
偏微分の書き方をすると、
d(x^3)/dx=∂z/∂x　d(y^5)/dy=∂z/∂y　ですね・・・つまり、　dz/dt=∂z/∂x・dx/dt + ∂z/∂y・dy/dt　ですΣ(・ω´・ノ)ノ　

これが”たとえ話”である理由は、じゃあz=x√y だったらどーなんよ！と言われたらおしまいだから”たとえ話”なんですね(・o・)ノ
でも、これで、イメージをつかんでくれたら良いなぁ～(^O^)

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いえいえ、理系はしつこいくらいが丁度良いです・・・異性には嫌われますが(^^;)

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は　z=f(x,y)=c　c:定数　を考えているからです(´∀｀)
見やすく　z=c　としておくと、dz/dt=0　ですよね(－＿－)
示したかったのは、等高線にあたるz=c とgrad z が直交する事ですから、z=c を考えたんですね(´ω｀*)

dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt　ですが、正確な証明は数学の教科書・参考書にゆずりたいとおもいます・・・「偏微分」の所に載ってますよ(^^3)
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　　　　588.0000098*1/2*7/10＝205.80000343Ｎ
　　　　･･･①＝Ｆ（地面にかかる力）

　　　①を圧力Ｐ＝F(N)/S(m^2)の式に代入
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　 =205.80000343(hpa）
　　　有効数字２ケタにあわせ　2.1*10^2(hpa)

質問１：実際の強度や構造計算などの実測など、現実世界では10.0や１５のようにちょうどぴったりとまることはなく、かつ計算方式や測定方法により必ず誤差、割り算であれば無理数・無限小数のようなものが生じる。よって、確実に信頼できる数字を、計算式の一番少ない桁にあわせ、上記のように数字を丸める作業が必要になってくる。こういう理解でよろしいでしょうか？

質問２：自分なりに調べたりする中で気になりました。例えば確実に信頼できる上位3桁の有効数字であらわすとすると、例えば・・・

　99･9999と100.0001は近似値で、むしろ最初の上位３桁は信頼に値する数字ではな意のではないか？このような場合、有効数字はどのように考えるのでしょうか？

質問３：とりあえず論点をわかりやすくするため、立式途中有効数字は使いませんでした。私の有効数字の使い方に誤りあればご指摘くださいませ。

以上、３点、長くなりましたがよろしくお願いいたします。

物理の計算においてなぜ有効数字が必要なのでしょうか？以前、別のサイトで同様の質問をさせていただいておりましたが、いまいちわからず、考えておりましたが、ふと自分なりの解釈ですが、わかりかけた感じがしました。以下に記します。

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Aベストアンサー

＞質問１

はい。そういう理解でよろしいと思います。
ただ、有効数字は、実は「計算処理上の便利な実用的な方法」であって、本当はきちんと「誤差評価」をしないといけません。でも、これは非常に面倒なので、「簡便な近似的な方法」として「有効数字」という方法を使っています。

例えば、体重が　65.3 kg 、有効数字は３桁といったときには、「誤差」という観点からいうと、 ± 0.05 kg の誤差を持っているということです。つまり、真値は
　65.3 ± 0.05 kg
の中にあるということです。

これを使って、重力加速度 9.80 m/s² から「重力」の大きさを計算すると
　(65.3 ± 0.05) × 9.80 = 639.94 ± 0.49　　　①
になります。
これは、
　　639.45 ～ 640.43
のどこかに「真値」があるということです。これが、①の計算結果の「確かさの範囲」ということです。
これを、学術論文などでは正確に「640 ± 0.5 N」などと書きます。
ただし、ふつうにはいちいち「± 0.5」の誤差範囲を付けて書くのは面倒なので、代表的な「１つの値」で表わさないといけません。本当は難しいのですが、「だいたい640ぐらい」ということが分かりますよね。

これを、「何となく」決めるのではなく、「計算のもとが３桁なので、結果も３桁で表わすことにして、４桁目を四捨五入する」と決めて、①の結果から
　639.94 → 640
とするのが「有効数字」の考え方です。
要するに「確かさの範囲」の「ほぼ真ん中の数値」を「計算のもとになった数値の桁数で」表わすことにしようという「取り決め」です。裏には、①に書いたような「確かさの範囲」というものがあるのです。


＞質問２

＞99･9999と100.0001は近似値で、むしろ最初の上位３桁は信頼に値する数字ではな意のではないか？

これは考え方がおかしいです。上に書いたように、
　99.9999 とは、99.9999 ± 0.00005 のこと
　100.0001 とは、100.0001 ± 0.00005 のこと
なので、「最初の上位３桁は信頼に値する数字ではない」ということはあり得ません。

もし「小数以下は信用できなくて、誤差が ± 0.5 ある」というのであれば
　99.9999 の 0.9999 は誤差を含んでいて、小数点以下は 0.4999 ～ 1.4999 という「確かさの範囲」であれば、こんなに小数点以下細かく書いても「誤差ばかり」になってしまうので、「確からしい値」は小数点以下１桁目を四捨五入して
　99.9999 → 100
とすべきです。

同様に、100.0001 の「確かさの範囲」が -0.5001 ～ 0.5001 であるならば、「確からしい値」は小数点以下１桁目を四捨五入して
　100.0001 → 100
とすべきです。

つまり、「誤差が ± 0.5 」であれば、「99.9999」も「100.0001」も、「確からしい値」は「100」で同じということです。

要するに、99.9999と100.0001といったときに、その誤差はどの程度か、「確かさの範囲」はどの程度か、ということで「確からしい値」が決まるということです。


＞質問３

「誤り」はありませんが、「結果」の有効数字が「２桁」と分かっているのであれば、10桁も11桁も計算するのは「無駄」なので、途中の計算は「3桁目を最終的に四捨五入するので、4桁程度で計算しておけば十分」と割り切って計算した方がよいでしょうね。
あなたの計算は、「無駄な骨折り」をしているということです。「間違い」ではありませんが、時間と能力をもっと他に使った方が有意義だということです。

＞質問１

はい。そういう理解でよろしいと思います。
ただ、有効数字は、実は「計算処理上の便利な実用的な方法」であって、本当はきちんと「誤差評価」をしないといけません。でも、これは非常に面倒なので、「簡便な近似的な方法」として「有効数字」という方法を使っています。

例えば、体重が　65.3 kg 、有効数字は３桁といったときには、「誤差」という観点からいうと、 ± 0.05 kg の誤差を持っているということです。つまり、真値は
　65.3 ± 0.05 kg
の中にあるということです。

これを使って、重力加...続きを読む

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