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SINθ≒COSθを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを1mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

という課題があるのですが、
「SINθ≒COSθ」のところからよくわかりません。
どなたか教えてもらえないでしょうか

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A 回答 (9件)

物理というよりは数学だと思います。


SINθ=COSθを満たすθはθ=45°ですね。つまりSINθ≒COSθを満たす振り子というのは最大ゆれ角約θ≒45°の振り子ということです。御存知とは思いますが念のために≒は約とかおよそという意味です。

長さが1mなので振れ幅は三角比より計算され、振れ幅=1m×sinθとなります。

この回答への補足

お答えありがとうございます。
ですが、問題を間違えていました。
SINθ≒COSθではなく、正しくは
SINθ≒θ をみたすθをもとめよ
でした。本当にすみません。この解を
おしえてもらえないでしょうか

補足日時:2006/11/23 21:44
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計算は自分でやってもらうとして補足です。


sinのグラフはどこでも出てきます。見たことも書いたこともあると思います。原点付近でほぼ直線になっています。角度をラジアンで表したとき、この直線の勾配が1だということです。
振幅が小さいときの振り子の運動は単振動であるというのはこの結果を用いています。
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Excelで比較する場合


"x"と"=sin(x)"
を比較ください.xは度ではなくラジアン(または弧度法)
ですので注意ください.度とラジアンの変換は
ラジアン=π*度/180
となります.後はご自身で
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御存知とは思いますが、宿題等の質問では自分の考えを書くルールになってます。

これだけの回答が付いてるのですから、回答を元に自分なりに考えた結果を書くべきです。
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θ≒0においてsinθ≒θ、つまりsinθとθはθ≒0において非常に近い値を取ります。



詳しく言うと、#4のようにsinθをθ=0の周りでマクローリン展開すると#4の式のような無限の項数の近似式になります。無限に続く項をどこまでも計算するのは現実には必要無いのでどこかで切るのですが、θの次数をどこまで取るかは、θの値と許される精度で決まります。ゼロに非常に近い値ならば少ない項数で高い精度を達成出来ます。ゼロから遠ければ逆ですね。また、必要な精度が高いなら、項数は多く必要です。必要精度が低いなら少なくてもOKです。

問題を別な言葉で言うと「有効数字○○桁でsinθ≒θが成立するには、θは何度以下である必要があるか?」と言ってるのと同じです。だから問題のようにθの実際の大きさを求めよと言われたら、必要な精度の値が要ります。有効数字2桁までとか。それが条件として提示されればsinθとθを比べて、2桁まで等しいためにはθ<0.1(rad)とか、計算出来るのです。

この式は有名です。と言っても最近は電卓で何でもキッチリ数値計算出来てしまうので数値計算ではあまり使いません。sinが入ってると複雑で解析的に計算出来ない場合に、簡略化として使うことがあります。

この回答への補足

質問に不備がありすみません。
有効数字は4桁でした。

補足日時:2006/11/26 09:47
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「SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、


振り子の長さを1mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ」

どのくらいの精度でSINθ≒θが成立する場合なのかが指定されないと物理の問題として成立しません。

これは授業の問題ですか? それならば授業のときに精度が指定されたのではないですか?

それとも問題集の問題ならば、例題かなにかで精度が指定されていると思います。

この回答への補足

問題集ではなく
振り子の周期と長さから
重力加速度を求める実験の
考察の一部で有効数字は4桁でした

補足日時:2006/11/26 09:45
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>では具体的に


>θはどれくらいの値になるのでしょうか

コレくらい計算できませんか?
sinθのマクローリン展開をしてみると
sinθ=θー1/3!*θ^3+1/5!*θ^5ー...
となり,θが1より小さければ,θの高次の項は小さいので,
sinθ≒θ
と出来ます.どれくらいの値かは,どの程度の精度が必要かによってかわりますので,ご自身で計算されることをすすめます.(Excelにもsinくらいありますのですぐ出来ると思いますが)

この回答への補足

エクセルの関数は一部しかわからないのですが、
よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時:2006/11/26 10:21
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物理の問題として成立してないと思います。


まずは問題を丸写しすることをお勧めします。

この回答への補足

すいません 問題に間違いがありました。
ただしくは下のようになります


SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを1mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時:2006/11/24 16:47
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この意味は、θが非常に小さいとき、sinθをθで近似できるという意味です。

この回答への補足

では具体的に
θはどれくらいの値になるのでしょうか

補足日時:2006/11/24 16:47
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y = 1(x-0)+f(0)=x ≒ tan x (|x|<<1)
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同様に
f(x)=cos x のとき
f'(x)=-sin x,f'(0)=0,f(0)=1 から
y=cos x の x=0における接線は
y = 0(x-0)+f(0)=1 ≒ cos x (|x|<<1)

となり、これが cos xの近似式となりますね。

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まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
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ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
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2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
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dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
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と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
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θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
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となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97


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