sinθ≒θ？

解決済

質問者：milkflour
質問日時：2006/11/23 09:32
回答数：9件

SINθ≒COSθを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを１mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

という課題があるのですが、
「SINθ≒COSθ」のところからよくわかりません。
どなたか教えてもらえないでしょうか

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

このQ&Aに関連する最新のQ&A

「excel 比較」に関するQ&A： Excel2003 VBA 文字列の比較で

さらに表示

「excel 有効数字」に関するQ&A： Excelでの有効数字の合わせ方について

回答 (9件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.1ベストアンサー

回答者： matchaman
回答日時：2006/11/23 11:20

物理というよりは数学だと思います。

SINθ＝COSθを満たすθはθ＝４５°ですね。つまりSINθ≒COSθを満たす振り子というのは最大ゆれ角約θ≒４５°の振り子ということです。御存知とは思いますが念のために≒は約とかおよそという意味です。

長さが１ｍなので振れ幅は三角比より計算され、振れ幅＝１ｍ×sinθとなります。

この回答への補足

お答えありがとうございます。
ですが、問題を間違えていました。
SINθ≒COSθではなく、正しくは
SINθ≒θ　をみたすθをもとめよ
でした。本当にすみません。この解を
おしえてもらえないでしょうか

補足日時：2006/11/23 21:44

通報する

- 0
- 件

通報する

No.9

回答者： ht1914
回答日時：2006/11/29 11:45

計算は自分でやってもらうとして補足です。

ｓｉｎのグラフはどこでも出てきます。見たことも書いたこともあると思います。原点付近でほぼ直線になっています。角度をラジアンで表したとき、この直線の勾配が１だということです。
振幅が小さいときの振り子の運動は単振動であるというのはこの結果を用いています。

- 1
- 件

通報する

No.8

回答者： masudaya
回答日時：2006/11/27 09:15

Excelで比較する場合

"x"と"=sin(x)"
を比較ください.xは度ではなくラジアン(または弧度法)
ですので注意ください.度とラジアンの変換は
ラジアン=π＊度/180
となります.後はご自身で

- 0
- 件

通報する

No.7

回答者： matchaman
回答日時：2006/11/26 11:48

御存知とは思いますが、宿題等の質問では自分の考えを書くルールになってます。

これだけの回答が付いてるのですから、回答を元に自分なりに考えた結果を書くべきです。

- 0
- 件

通報する

No.6

回答者： matchaman
回答日時：2006/11/25 17:44

θ≒０においてsinθ≒θ、つまりsinθとθはθ≒０において非常に近い値を取ります。

詳しく言うと、＃４のようにsinθをθ＝０の周りでマクローリン展開すると＃４の式のような無限の項数の近似式になります。無限に続く項をどこまでも計算するのは現実には必要無いのでどこかで切るのですが、θの次数をどこまで取るかは、θの値と許される精度で決まります。ゼロに非常に近い値ならば少ない項数で高い精度を達成出来ます。ゼロから遠ければ逆ですね。また、必要な精度が高いなら、項数は多く必要です。必要精度が低いなら少なくてもOKです。

問題を別な言葉で言うと「有効数字○○桁でsinθ≒θが成立するには、θは何度以下である必要があるか？」と言ってるのと同じです。だから問題のようにθの実際の大きさを求めよと言われたら、必要な精度の値が要ります。有効数字２桁までとか。それが条件として提示されればsinθとθを比べて、２桁まで等しいためにはθ＜0.1(rad)とか、計算出来るのです。

この式は有名です。と言っても最近は電卓で何でもキッチリ数値計算出来てしまうので数値計算ではあまり使いません。sinが入ってると複雑で解析的に計算出来ない場合に、簡略化として使うことがあります。

この回答への補足

質問に不備がありすみません。
有効数字は４桁でした。

補足日時：2006/11/26 09:47

通報する

- 0
- 件

通報する

No.5

回答者： leo-ultra
回答日時：2006/11/24 20:55

「SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、

振り子の長さを１mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ」

どのくらいの精度でSINθ≒θが成立する場合なのかが指定されないと物理の問題として成立しません。

これは授業の問題ですか？　それならば授業のときに精度が指定されたのではないですか？

それとも問題集の問題ならば、例題かなにかで精度が指定されていると思います。

この回答への補足

問題集ではなく
振り子の周期と長さから
重力加速度を求める実験の
考察の一部で有効数字は４桁でした

補足日時：2006/11/26 09:45

通報する

- 0
- 件

通報する

No.4

回答者： masudaya
回答日時：2006/11/24 20:41

>では具体的に

>θはどれくらいの値になるのでしょうか

コレくらい計算できませんか？
sinθのマクローリン展開をしてみると
sinθ＝θー１／３！＊θ＾３＋１／５！＊θ＾５ー...
となり,θが１より小さければ,θの高次の項は小さいので,
sinθ≒θ
と出来ます.どれくらいの値かは,どの程度の精度が必要かによってかわりますので,ご自身で計算されることをすすめます.(Excelにもsinくらいありますのですぐ出来ると思いますが)

この回答への補足

エクセルの関数は一部しかわからないのですが、
よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時：2006/11/26 10:21

通報する

- 0
- 件

通報する

No.3

回答者： uvwxyz
回答日時：2006/11/24 01:39

物理の問題として成立してないと思います。

まずは問題を丸写しすることをお勧めします。

この回答への補足

すいません　問題に間違いがありました。
ただしくは下のようになります

SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを１mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時：2006/11/24 16:47

通報する

- 0
- 件

通報する

No.2

回答者： cabinessence
回答日時：2006/11/23 23:41

この意味は、θが非常に小さいとき、sinθをθで近似できるという意味です。

この回答への補足

では具体的に
θはどれくらいの値になるのでしょうか

補足日時：2006/11/24 16:47

通報する

- 0
- 件

通報する

このQ&Aに関連する人気のQ&A

「excel 有効数字」に関するQ&A：エクセル(Excel)で、数値を一定の有効数字で表示したいのですが…

さらに表示

「excel 比較」に関するQ&A： Excelで○○を含むという条件にてvlookup処理(比較)できるでしょうか？

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう！

質問する（無料）

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qsinθ≒θ　の近似

θが５度以下であるならば
sinθ≒θ　が成り立つと本に書いてあったのですが、
なぜ５度までなのですか。

Aベストアンサー

5deg=0.872rad
sin(5deg)≒0.087155
sinを級数展開して、誤差を計算
http://homepage3.nifty.com/y_sugi/cf/cf56.htm

他の回答も見る

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式　Ｉ（θの2回微分）＝－Ｍｇｈθ
から、普通に
周期Ｔ＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Ｔはどうやって求めたのでしょう？計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします！
Ｔ＝２π／ωと、ω＝（θの微分）を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 ＝－Ａθ
（Ａ＝Ｍｇｈ／Ｉ）
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはｔの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ ＝ a・sin(ωt+c)
ｔで一回微分すると
dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)
もう１回ｔで微分すると
Ｉ＝ dθ^2/dt^2 ＝－a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
－a・ω^2・sin(ωt+c) ＝－Ａ・a・sin(ωt+c)
よって
ω＝√Ａ＝√（Ｍｇｈ／Ｉ）
Ｔ＝２π／ω＝２π√（Ｉ／Ｍｇｈ）

他の回答も見る

Q高校レベル　三角関数の近似公式について

xが十分に小さいとき、sin x=tan x=x,cos x=1とみなせるようですが、この根拠がどうしても分かりません。
　sin x=xについては、xをゼロに飛ばしたときの極限値(sin x)/xから来るだろうと予想はしております。
その他についても、是非、お力をいただけたらと思います。
よろしくお願いいたします！

Aベストアンサー

大学での数学でマクローリン展開を習えば、xが小さい時
sin x, tan x, cos x　の無限級数展開が出来ますので直ぐ分かると思います。
高校レベルでは
|x|が十分小さいとき、それらの関数の近似式は
x＝0における接線で近似できることを使えばいいですね。

例えば
f(x)=sin x のとき
f'(x)=cos x，f'(0)=1,f(0)=0 から
y=sin x の x=0における接線は
y= 1(x-0)+f(0)=x　≒ sin x (|x|<<1)
これが sin xの近似式になります。
xが小さいほど近似の精度がよくなりますね。

同様に
f(x)=tan x のとき
f...続きを読む

他の回答も見る

Q単振り子の運動方程式

重力加速度ｇ、質量m、紐の長さｌ、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"＝-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか？

軌道にそってｘ軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ　　軌道に沿った運動方程式？
⇔mlθ"=-mgsinθ　　どういう座標系の運動方程式なの？
そしてこれの一般解はどういう風になりますか？
初期条件としてt=0でθ＝φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

　　y
　　↑
　　・→x
　　　＼
　　　→＼
　　　θ　＼
　　　　　　●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ　　(1)
y= -l cosθ　　(2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ　　(3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ　　(4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ　　(5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α}　←Cは定数　　(6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2)　←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1　←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}　　(7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)　　(8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt　　(9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2　←C2は積分定数　　(10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}　　(11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}　　(12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)　　(13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

他の回答も見る

Q円周から半径を求める

タイトルのまんまなんですけれど、
円周から半径を求める方法があったと思うんですけど、
すっかり忘れてしまっているので教えて下さい。
円周率。ではないです。
例えば、円周７３ｃｍだったらその半径は何ｃｍになるのか、その計算方法を知りたいのです。
とにかく数学が苦手なので、分かりやすく教えて頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

直径×円周率＝円周
なので、
直径＝円周÷円周率
直径＝半径×２なので
半径×２＝円周÷円周率
半径＝円周÷円周率÷２
です！

他の回答も見る

Qエクセルで片対数グラフを作る

エクセルで片対数グラフを作る方法を詳しく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

グラフの数値軸のところで右クリックして
軸の書式設定(O)→目盛(タブ名)
で
対数目盛を表示する(L)
にチェックを入れてください。

他の回答も見る

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか？
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径ｒが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量（時間微分）ですので、加速度は「a＝dv/dt」、角加速度は「α＝dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω＝ｖ/ｒ」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt＝(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α＝a/r」となります。
ただし半径ｒそのものが時間関数ｒ（ｔ）の場合はこの限りではありません。

他の回答も見る

Q0の階乗はなぜ1になるのですか？

手元にある本に、0の階乗は深い理由により1になる、
と書かれてあるのですが、これはなぜこうなるのでしょうか？

普通に考えると0になると思うのですが。

ガンマ関数の導出の仕方を勉強しなければ分からないことなのでしょうか？

Aベストアンサー

こんばんわ

他人のふんどしですが、
Wikipediaには二通りの苦しい解釈が挙げられていますね。

「(n-1)! = n! / n であるから、0! = 1!/1 = 1 と考えられるため、
あるいは、n! が異なる n 個のものを並べる順列の総数 nPn に一致し、0 個のものを並べる順列は「何も並べない」という一通りがあると考えられるため、など」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

他の回答も見る

ページトップ