単振り子

高校生ですが、先日学校で単振り子の周期の測定の実験をしました。周期の測定はひとつの角度、振り子の長さで100回ごとデータをとりました。

この場合、理論上1回目と100回目の周期では100回目のほうが減少するのでしょうか。角度は減少すると思うのですが、Ｔ＝√Ｌ／Ｇによれば、周期に変化はないようです。しかし、減衰振動という言葉を聞いたので、疑問に思っています。

単振り子では回数を経るにつれて、周期に違いは出るのでしょうか。あるのなら、理由も簡単に教えてください。

No.5 回答者： toshih2000 回答日時： 2009/02/06 14:02

減衰振動とか関係無く、

周期は振幅によって変わります。

高校などでは、ガリレオが発見した振り子の等時性などと、出てくるかもしれませんが、厳密には振幅によらない等時性はありません。
私は、ガリレオは何を発見したのだろう? と思っています。

原因は振り子の動きを表す微分方程式を解く際に、
途中で、 sinΘ=Θ (Θ:振幅) と近似して解く事に起因します。
ですので、近似できる範囲では等時性があるといえますが、
近似できない範囲では等時性はありません。
詳しくは理科の先生にでも聞いてください。

周期も T=√(L/G) などと単純ではありません。
厳密に表すには楕円関数等の知識が必要です。
実際は振幅が大きくなると、周期も大きくなります。
極端な場合、振幅が 180度の場合、つまり真上まで振れる場合には、周期は無限大になります。

詳しくは大学に入ってじっくり勉強してください。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2009/02/06 08:40

周期は１回の振動の時間です。

でも時間の測定をやりやすくするためにたいてい何回かまとめた時間を測って求めます。私はいつも１０回です。１００回は多すぎると思います。
使う器具にもよりますが高等学校での実験ではそれほどの精度は必要ありません。角度が小さい所では周期が一定であること、角度が大きくなると徐々に周期が長くなること。糸の長さを１／４にすると周期が１／２になることを見るのであれば時間は２桁の精度があれば十分です。
１００回にすると周期の精度が上がるように見えます。でも１００回の初めの方と終わりの方で周期が違っていると回数を増やすことでばらつきが大きくなるのですから精度は上がったことにはなりません。ある量の精度を上げるためにはそれに見合うように連動する他の部分の精度を全て上げなくてはいけません。影響があるのか、ないのか、考慮するのが面倒ないろんな実験条件のバラツキを含めてしまうことの出来る荒さが適当だろうと思います。
糸を使っているのかピアノ線か、固定はどのようにしているのか、長さの測定の精度は、錘の重さは、ピアノ線にねじれやゆがみはないのか、振動に錘の回転が入っていなかったか、色々問題になります。空気抵抗だけが問題になるのではありません。
（高等学校ではある１つの実験は年に一回です。次の年にやるまで器具は棚にしまわれています。多分ピアノ線は巻いて保管されているはずです。たいてい巻き癖やねじれがついています。長さを変えた実験をやると固定箇所にゆがみが残ります。これらはゆれや伸び縮みの原因になります。長さの測定も難しくなります。）

＞減衰振動という言葉を聞いたので、疑問に思っています。
と書かれています。
角度を変えて測られたということですが何度くらいでの測定ですか。
１００往復であれば振幅が変わったのが見えたのではないですか。

１０往復の測定でも２０°ぐらいから周期に変化が出るのが分かります。
減衰振動が起これば角度が変化するのですから当然周期にも変化が生じます。

振り子の周期が角度によらないというのは角度が小さい時でのことです。
ｓｉｎθ≒θ、または　ｓｉｎθ／θ≒１
が成り立つ場合です。３桁の精度が必要であればこの角度の近似も３桁でなりたっている必要があります。
θ＝π／１０（＝１８°）の時、ｓｉｎθ／θ≒０．９８
θ＝π／６（＝３０°）の時、ｓｉｎθ／θ≒０．９５
もし減衰振動で３０°の角度で始めた振動が１８度まで落ちたとすると０．９５から０．９８の変化に見合っただけの周期の変化が生じます。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2009/02/06 02:24

こんばんは。

高校物理ですと微積分は使いませんが、それを使うと、
単振り子などの単振動の方程式は、
中心からの距離をｘ、時刻をｔを置いて、
ｄ^2／ｄｔ^2 ｘ　＝　－ｋｘ
となります。
（ｋは正の実数・・・ばね定数に相当）

左辺は、ｘの加速度を表します。
（位置（距離）を時刻で１回微分すれば速度、もう１回微分すると加速度になります。）
右辺は、その加速度が、位置ｘが大きいほど逆向きに働くことを現しています。（ばねを想像するとわかると思います。）

上記の解は色々ありますが、簡単な例の一つは、
ｘ　＝　Ａsin（ｎｔ）
（Ａは片側振幅、ｎは角振動数）
です。
実際、これをｔで微分すると、
速度ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　Ａｎ・cos（ｎｔ）
もう１回微分すると、
加速度ａ　＝　ｄｖ／ｄｔ　＝　－Ａｎ^2・sin（ｎｔ）
となり、Ａｎ^2 をｋに見立てれば、元の式とぴったり合います。


さて、
減衰振動の場合は、抵抗が速度に比例するとして考えられることが多いようです。
つまり、適当な定数ｃを与えて、
ｄ^2／ｄｔ^2 ｘ　＝　－ｋｘ　－　ｃ・ｄｘ／ｄｔ
と表します。
これは、上記の方程式のように簡単にはいきませんが、
このような解になります。
http://home.kanto-gakuin.ac.jp/~nmaeda/subject/s …
（ｈ＜１　の場合の式だけ見てください。）
sin の左に掛け算されているｅのなんちゃら乗は、減衰を表します。
sin の中身ですが、
αは単なる位相ずれなので、どうでもよいですが、
ｔの係数として　√（１－ｈ^2）　が掛け算されていることに注目してください。
ｈ（減衰の度合い）が大きいほど、ｔの係数が小さくなるということは、
ｈが大きいほど sin の周期が遅くなることを示しています。
しかし、これは同時に、振動している間、定数ｈが変わらない限り、
減衰振動をしても周期は変化しないことも示しています。


よって、
＞＞＞単振り子では回数を経るにつれて、周期に違いは出るのでしょうか。

に対する答えは、（抵抗が速度に比例するならば）Ｎｏです。

抵抗があるかないかで、最初から周期に違いがあるかという問いであれば、もちろんＹｅｓです。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

No.2 回答者： carvelo 回答日時： 2009/02/05 23:46

減衰振動というのは、振幅が徐々に小さくなっていく振動のことです。

実際に生じる振動はみんなこれですね。

周期についてですが、まず、抵抗のために振り子が遅くなる為に抵抗がない理想的な場合の周期Ｔ＝√Ｌ／Ｇより遅くなるのは確かです。
実験中の変化については、速度に比例する抵抗が働くと考えると、速度が遅くなってくる最後の方が理想的な場合の周期に近づく（つまり、周期が短くなっていく）と思います。

No.1 回答者： e_o_m 回答日時： 2009/02/05 23:33

微小な振動であれば、たとえ減衰項により減衰振動になろうとも周期は常に一定です。

減衰振動は　exp(-t/τ)*sin(ωt)　と書くことができ、sin(ωt)がy=+1の直線とy=-1の直線の間を振動するように、+exp(-t/τ)の曲線と-exp(-t/τ)の曲線の間をsin(ωt)で振動します。（なので周期はどちらも同じですね）

しかしながら、あくまでθ<<1という理想化された条件では周期が変わらないというだけです。

減衰が無い時、その近似をせずに真面目に解くと周期Tは
T=2π√(l/g)*[1+(1/2)^2*a^2+{(1/2)(3/4)}^2*a^4+…]
a=sin(θ0/2)
θ0:時刻t=0における角度
となります。
2π√(l/g)は近似をして解いた時の周期です。

この式を見てもらえばわかると思いますが、振幅が大きい程（すなわちaが大きい程）Tは大きくなります。
ですので、実際の実験においては100回目の振動は当然1回目に比べて減衰していますので周期は短くなります。（多分わずかでしょうけど）