「ブロック機能」のリニューアルについて

【問題】質量mのおもりと長さaの振り子を作る。この振り子は、鉛直平面内で自由に

回転できる(上に壁があるわけではない)。摩擦は無視できるものとする。


問題(A)座標系を適当に設定して運動方程式をたてよ。なお、鉛直線に対する

振り子の角度θとする。他に必要な記号があれば自分で設定すること。


問題(B)時刻t=t0において、おもりは最下点にあり、速さVで運動を開始した

とする。このVの値が小さければ振り子は往復運動をおこない、大きければ

大車輪のような回転運動をおこなう。両者の境目となるVの値を求めよ。

この値をVsとする。


問題(C)ちょうどV=Vsとした場合について、運動方程式の解を求め、

角度θの時間変化を図示せよ。長時間経過後の漸近的な挙動に注意すること。

【考えたこと】

問題(A)ma(d^2θ/dt^2)=-mgsinθ

問題(B)力学的エネルギー保存の法則を定式化して、おもりが頂点に来たとき速度0、最下点に来たとき速度Vsとなる

問題(C)力学的エネルギー保存則の式を微分方程式として解く
θとtの変数分離形で解けない。

(B)と(C)がここまでしか分からないです。

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A 回答 (6件)

とりあえず(B)だけヒントをというか考え方だけ書いてみます。



まず重りが大車輪運動するためにはどういう条件が必要か考えてみてください。
大車輪運動するということは、おもりは頂点でも円運動を続けるということですよね。
つまり速さを有するということです。
位置エネルギーの基準を重りの最下点にとり、
頂点での速さをVTとして、最下点と頂点で力学的エネルギー保存則を書き下します。
その式から、おもりが頂点で速さを有する条件を求めれば、Vsも見えてくるはずです。
(ヒント:VTに関する二次方程式が実数解を持たなければならない)

(C)については自分も解けませんでした。
ごめんなさい…
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うまく進んでないようですね。

Aについて。
糸(というか剛体針金)の張力は仕事をしないから、力学的エネルギーには寄与しません。
dθ/dt+=θ'として、運動エネルギーはml(θ')^2/2。
位置エネルギーは最下点で0とすれば、mgl(1 - cosθ)。
力学的エネルギー保存の式は、
m(lθ')^2 +mg(l - cosθ) = mV^2/2(定数、Vsのとき丁度最上点で静止するわけですね。)
ただ、解くと楕円関数になりそう。
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#4です。


すみません。補足します。

「おもりをつけた振り子」と書いてありましたので糸を考えました。この場合はたるむということが起こります。

でも変形しない剛体の棒(質量は無視できる)の先におもりを付けたものを考える場合は質問の中のようになりますね。頂点での速さが正であれば円運動になります。エネルギー保存だけで解くことが出来るはずです。
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問題(B)では起こりうる場合を2つに分けていますが実際は3つになります。

従って境目の速度も2つ存在します。
(1)往復運動になる場合
(2)円の途中から離れて放物運動になる場合
(3)円運動になる場合

(1)折り返し点の最高点はは円の中心と同じ高さです。
(3)円運動が実現するためには最高点での速度が正だけでは不足です。質問文中には円運動が考慮されていません。エネルギー保存則だけでは解くことは出来ません。
(2)は当然(1)と(3)の間になります。

問題(A)で貴方が書かれている式は接線方向のものです。円の中心向きの加速度も存在します。おもりにかかる張力をT、半径をrとします。
T-mgcosθ=mv2/r
円運動が実現する条件は頂点でT>=0です。これは糸がたるまない条件です。後は解いてみて下さい。

>おもりが頂点に来たとき速度0、

というのがおかしいのはわかりますか。これだと頂点から自由落下してしまいます。この時、実は頂点にも達することが出来ません。もっと手前で円から外れて放物運動に変わっています。この円から外れてしまうところというのはT=0で決まります。

この問題と円筒の内面に沿って物体が運動するという問題とは同じです。円筒を縦に半分に切った頂点から物体が飛び出すための条件を求める問題もよく見ます。このカテゴリーの過去の質問にも出てきます。

 
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P.S.


最初から力学的エネルギー保存則を考えて、式を立ててはいかがでしょうか。
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Aについて。


軸の長さが考慮されていないようですが、どうですか?
(なお、軸は糸じゃなくて重さの無視できる剛体の針金と考えましょう)
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