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質量mのおもりを長さrの糸に取り付けた単振り子がある。
(糸は同じおもりをもう1つ付けてもギリギリ切れない強度を持っている)

この(おもり1つだけの)単振り子を糸が切れないように運動させるとき、
おもりを最大どの高さまで上げることができるか。
但し、高さの基準は振り子の最下点とする。

↑の問題が分かりません(^^;
2mgが限界なのだから、あとmg分の力にも耐え得るということですよね…?
おもりに働く張力と重力以外の力は…慣性力なんでしょうか?
解法を説明していただけると助かります。

gooドクター

A 回答 (3件)

単振り子と書かれていますが、不等速円運動の問題です。


高校の範囲で考えます。高校の範囲では、不等速円運動の接線方向成分について運動方程式が扱えません。代わりに、力学的エネルギー保存則を考えます。単振り子なのでエネルギー保存は成立しています。
おもりの最高点で糸は鉛直方向と角θをなすとします。
最高点と最下点では、高さの差はr(1-cosθ)だけあります。最高点では、おもりの速さは0で運動エネルギーも0です。
最下点を基準にすると、角θをなす時点での位置エネルギーはmgr(1-cosθ)です。これが最下点での運動エネルギー(1/2)(mv^2)に等しいとおくと、
(1/2)(mv^2)=mgr(1-cosθ)
最下点での運動方程式は、最下点での張力をTとして、
T-mg=mv^2/r
両式よりv^2を消去して、
(T-mg)r=2mgr(1-cosθ)
∴ T=mg(3-2cosθ)
θを0から大きくしていくと、cosθは小さくなるので、Tは大きくなります。
T=2mgのときに糸が切れるので、糸が切れない条件は、
T=mg(3-2cosθ)≦2mg
∴ cosθ≧1/2
従って、θを60度(π/3)よりも大きくすると切れることになりますが、このくらいの角度になってしまうと「単振り子」とは言えなくなります。

この回答への補足

θを60度よりも大きくすると切れるということは、
振り子は初めにr/2の高さまで上げることができるということで良いのでしょうか…?

補足日時:2009/05/12 20:39
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振り子が運動しているとき,張力が2mgを超えるとおもりが吹っ飛んでいく


という意味だと思われます。

つまり,運動中のおもりにはたらく,張力とは反対の力(No.1さんの遠心力ですね)が,2mgを超える条件を見つければいいのだと思います。
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遠心力でしょう

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