振動

　｜　　　つりあいの位置
　｜　　　k
壁｜／＼／＼／＼／＼／ー○
　｜ :→　　 ｍ
　｜ : x

これは机の上に置かれた球とばねを上から見た図であり、
球と壁はばねで繋がれているため、球はばねによってxの方向に振動する

球の質量をｍ、ばね定数をkとする。ここでは簡単のため球と机の抵抗はないものとする。
このときの球の振動について考えてみよう。

問題１、
つりあいの位置を原点とし質点の変位(ばねの伸び)をxとするとき、
質点がばねから受ける力Fを示せ。

次に運動方程式について考える。まず力Fを受ける質点の運動方程式は

　　　　　　　　　ma=F　　　　　　　・・・(1)

である。ここでaは加速度を表す。また加速度は質点の変位を時刻tで
二回微分した関数である。つまり、

　　　　　　　　　a=dの2乗x/dtの2乗 ・・・(2)

である。
問題２、質点の運動方程式をｍ,x,kを用いて表せ。

今質量ｍとばね定数kが与えられているとすると問題２で求めた方程式では、tの関数x(t)は未知である。
このように未知の関数の微分を含む方程式を微分方程式という。
問題３　関数
　　　　　　　　　x(t)=C1coswt+C2sinwt　・・(3)
が問題２の式を満たすようにwを決定せよ。

　つまり関数x(t)=C1coswt+C2sinwtは問題２の微分方程式の解となる。
まだC1とC2の値を決めていないが、C1,C2がどのような値でも、
式(3)は微分方程式の解となることがわかる。このように、微分方程式は無数の解を持ち、解を一つ決定するためには他の基準が必要となる。

問題４　手で球をx=aの位置で固定させておき、時刻t=0で手を離した。
解x(t)を決定せよ。
　（ヒント：ｔ=0のとき速度dx/dtは0）

このように時刻0での状態により解が一つ決定する。
問題４で求めた解x(t)は時刻tでの質点の位置を表す。

何方か助けて下さい。高校で物理とってなかったので分かりません。

No.3 回答者： yagoro 回答日時： 2008/01/16 00:23

参考として複素数での解き方を紹介します。

↓運動方程式が求まったところから。

質点の運動を指数関数
x(t)=e^(st) （←exp(s*t)のこと）
とおき、運動方程式に代入します。
するとsは２つの純虚数であることがわかります。
つまり基本解は
e^(iwt),e^(-iwt)
の形となり、一般解はこれらの重ね合わせ（線形結合）によって
x(t)=Ca*e^(iwt)+Cb*e^(-iwt) ・・(3)'
と表されます。
ただし、Ca,Cbは複素数です。
題意より、というよりは現実世界の常識より、解は実数です。
したがってxとその複素共役yとの間に
x=y
が成り立ちます。これを解くとCaとCbが互いに共役のことがわかります。
そこで、Ca,Cbの複素共役をそれぞれDa,Dbとおくと
x(t)=Ca*e^(iwt)+Da*e^(-iwt) ・・(4)'
( or x(t)=Db*e^(iwt)+Cb*e^(-iwt) )
と書けます。速度v(t)は(4)'を微分することによって
v(t)=iwCa*e^(iwt)-iwDa*e(-iwt)
となります。ここで初期条件を上に代入すると
Ca+Da=a
iw*(Ca-Da)=0
となります。Ca,Daは上の連立方程式の解です。
この解を(4)'に代入し、オイラーの公式を使えば解x(t)が定まります。

計算、がんばって下さい。

No.2 回答者： BookerL 回答日時： 2008/01/15 21:56

参考になりそうなサイトを紹介します。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95% …
http://anchoret.seesaa.net/article/72839538.html


※高校で物理を取っていなかったとのことですが、merubokuさんは理系の大学生でしょうか？
　一昔前は理系の大学に行くのには物理・化学の両方必須だったのですが、最近は理科一科目で入試が受けられるところが増えました。これは大学側が「理科一科目だけしか学習しなくても大学での学習は大丈夫」と判断しているわけではなく、入試科目を減らすと受験生が増える、という営業的な点から実施されているに過ぎず、そのせいで被害を受けているのは、実は理科を一科目しか学習してこなかった学生です。
　しかし、そういう入試を実施している以上、大学側で高校物理の補習とか、高校で物理を履修していない学生向けの授業とかを用意しているはずと思うのですが、それはないのでしょうか。
……merubokuさんが大学生でなければ、ここの話は無視してください。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/01/15 18:18

バネについてはフックの法則

F=kx
が成り立ちます。
式さえ立てば、数学の問題（２階微分方程式の問題）に過ぎません。
F=mα=mx"=-kx　←問題１の答
マイナスの符号はxが伸びる時、加速度はxと逆方向に働くためです。
mx"+kx=0　←問題２の答
特性方程式を求めると
ms^2 +k=0
s=±i√(k/m)=iw,
w=√(k/m)　←問題３の答
一般解は
x(t)=Cae^(iwt)+Cbe^(-iwt)
オイラーの公式
e^(iwt)=cos(wt)+i sin(wt)
e^(-iwt)=cos(wt)-i sin(wt)
を代入して
> x(t)=C1coswt+C2sinwt　・・(3)
が出てきます。
x(0)=C1=a 　・・(4)
(3)を微分
x'(t)=-wC1sin(wt)+wC2cos(wt)　・・(5)
x'(0)=wC2=0 →C2=0　・・(6)
(4),(6)を(3)に代入して
x(t)=? 　←問題４の答

となります。

物理をやらなかったからといって、自力で勉強して克服しないといけません。大学や卒業して社会人として仕事をして
生きて行くには、過去に習っていないから、分からなくても仕方がない。
といって他力本願ばかりしていてはあいつはだめな奴、あいつに聞いても仕方がない奴とされてしまってはお仕舞いです。大学生やそれ以降は、習っていない事、解答が用意されていない問題に行き当たっては、それを解決していく能力が要求されます。
バネ定数とあれが、バネ定数をグーグルなどで検索すれば幾らでも情報が得られます。物理をやらなかったからといって、工学や理学や物理などの理系の関連分野へ進んだ以上、自分で独習すればいいことです。大学で学ばない分野の問題も将来遭遇するでしょう。それを解決するのは、何でも自力で取り組む意思と過去に学んだことの知識を総動員する能力（身に付けた実力）です。
落ちこぼれないよう頑張ってください。