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∫1/(√sin(x))dx 区間[0,π]
の広義積分が求められません。
lim a -> 0
lim b -> π
として√sin(x)をtとして置換積分してやろうとしたのですが
いまいちそのあとの積分区間がわからなくなったりして
解き方がわかりません。教えてください。

A 回答 (2件)

この積分は解析的には求められません。


高校の数学の範囲のレベルを超えます。つまり積分できない(高校までに習った関数を使っては表せない)ということです。
収束しますので数値積分なら可能でしょう。

大学の数学レベルでなら、積分結果は、第一種完全楕円関数K(x)を使って求められます。↓参照。
http://reference.wolfram.com/mathematica/tutoria …
積分結果は
(2√2)*K(1/√2)≒5.244115
となります。
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この回答へのお礼

直接はもとめられないのですね。

丁寧にありがとうございました。

お礼日時:2008/01/20 18:56

1/√sinxはx=π/2を中心に対称なので、


∫(0,π)1/(√sin(x))dx=2∫(0,π/2)1/(√sin(x))dx
sinx>2x/πより、1/√sinx<√(π/2)・1/√xだから収束はする。

sinx=uとおくと、2∫(0,1)1/√u(1-u^2)duになり、結局、楕円積分に
帰着しそうな感じがする。

具体的な値まで求められているのでしょうか?収束・発散の判定の
問題のような感じがしますが。
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この回答へのお礼

収束・発散のみ判定する問題でした。

そうか、それよりも大きな関数の収束・発散を示せばいいんですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/20 18:55

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