数II数と方程式のωが分かりません！

夜遅くにすみません；

方程式x^3＝1の虚数解の１つをωとする。

（１）ω^2＋ω＋１
（２）ω^3
（３）ω^123
（４）（１－ω)（１＋ω^2）

を求めよ。

という問題があるのですが、さっぱり意味が分かりません^^;
どのように解けばよいのでしょうか？
答えはいいので、アドバイスもらえるとうれしいです^^;

No.1 回答者： eliteyoshi 回答日時： 2008/01/18 00:02

ヒントです。

x^3＝1
↓
x^3-1=0
↓
(x-1)(x^2+x+1)=0
↓
実数解は、x=1
虚数解は、x^2+x+1=0の解だから解の公式より
x=(-1±i√3)/2=ω

このωからω^2＋ω＋１などを求めよ、という問題ですよ。
この問題を解くにはコツがいります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます^^

そこまではできました^^;
が、そこからどうすればいいのか分かりません^^;
１番はできましたが、２番からは計算が大変・・^^;

お礼日時：2008/01/18 00:06

No.2 回答者： pontiac_gp 回答日時： 2008/01/18 00:03

ωはx^3 = 1 の解なので ^3 = 1

因数分解して、 (ω-1)(ω^2 + ω + 1) = 0

これで(1),(2)はすぐ解けるはずです。
(3)は(2)の結果を使えば1000乗だろうが2000乗だろうが簡単
(4)は展開してから(1)(2)を使えばOK

この回答へのお礼

回答ありがとうございます^^

段々意味が分かってきました！
４番の答えは「３」と書いてあるのですが、
なかなか「３」になりません・・どっかで計算ミスしたかな？^^;
他は理解できました。

お礼日時：2008/01/18 00:11

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/01/18 00:04

（１）、（２）

ωは
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
の虚数解で1ではないですから、x=ωを代入すると
(ω^3-1)=(ω-1)(ω^2＋ω＋１)=0
が成立します。ω≠1ですから
ω^2＋ω＋１＝？
ω^3-1=0だから
ω^3＝？

（３）ω^123=ω^(3*41)=(ω^3)^41
（２）でも求めたω^3＝？を代入すればどうなる？

（４）（１－ω)（１＋ω^2）
　＝（１－ω^3）＋ω^2＋ω－２ω＝？　←ωの一次式に簡単化

といった所です。

この回答への補足

ω^2＋ω＝-1か^^;
これを使えば解けました！

みなさんありがとうございました！

補足日時：2008/01/18 00:20

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

３番までは理解できました^^;
ただ、４番なのですが、問題書き間違えました^^;

（１－ω）（１－ω^2）でした＞＜
展開すると、
１－ω^2ーω＋ω^3

１ーω^2ー１＋１

ーω^2＋１

ー（ω^2ー1)

ー（ω+1）（ω-1)

ー２×０＝０

ありゃ、答えに「３」と書いてあるのにおかしくなっちゃった^^;

お礼日時：2008/01/18 00:17

No.4 回答者： BookerL 回答日時： 2008/01/18 00:40

　「ωが x^3=1 の虚数解」ということは、この方程式の x にωを代入した式が成立する、ということです。

　x=2 が x~2 - 5x + 6 = 0 の解であれば、x に 2 を代入した　2^2 - 5×2 + 6 = 0 が成立しますね。それと同じです。

　ｘ^3=1 から ｘ^3 - 1 = 0 として、因数分解をすると、(a^3 - b^3 の形の因数分解です)

　(x-1)(x^2 + x + 1) = 0

となるので、この解は x=1 と x^2 + x + 1 =0 の解、ということになります。虚数解を ωとするので、ωはこの後の方の方程式の解です。つまり、ｘにωを代入した式が成立します。
　ということで、 (1) の答えは出ました。

(2) は、ωが x^3＝1の解なので、ｘにωを代入すれば明らかだと思うのですが……

(3) は、(2)を利用します。
　 ω^123 = ω^3 × ω^3 ×…… × ω^3 （ω^3 の41乗）で、
ω^3 がわかっているので、簡単に出ます。

(4) は…… すみません、うまい方法を思いつきません。
ωが x^2 + x + 1 =0 の解なので、強引に解の公式で
ω=(-1+√3i)/2 として、直接計算する、ということならできますが、ωを (-1-√3i)/2 とすると、結果が違ってきます。
「 x^3＝1の虚数解の１つをωとする」だけでは、二つの虚数解のどちらを ωとするかで結果が違うようですが、問題は間違いないのかな？それともこっちの計算間違い？
（ちなみに、(1)～(3)はどちらをωとしても結果は同じ）

No.5 回答者： BookerL 回答日時： 2008/01/18 00:46

もたもたしているうちに、たくさん回答や補足がついていました。

＞（１－ω）（１－ω^2）でした＞＜

それなら、展開して ω^3 = 1 と ω^2＋ω = -1 を使えばＯＫですね。