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[定義]E⊂Rが測度ゼロ"measure zero"を持つとは
0<∀ε,∃{I(n)}:有限か可算の区間の集合 such that E⊂∪[n∈N]I(n) 且つ Σ[n∈N]L(I(n))<ε
但し,L(I(n))は区間I(n)の長さを表す。

が測度ゼロの定義だと思います。その上で

[問]次を示せ。
(1) もしE1,E2が測度ゼロを持つならE1∪E2が測度ゼロを持つ。
(2) もし各E(n),n=1,2,… が測度ゼロを持つなら∪[n=1..∞]E(n)も測度ゼロを持つ。

の問題で四苦八苦してます。
ご助言賜りますよう宜しくお願い致します。

A 回答 (3件)

E1,E2,E3,…が測度0ならば、任意のε>0に対して、


E1は区間の長さの和がε/2未満の区間の和集合に含まれる
E2は区間の長さの和がε/2^2未満の区間の和集合に含まれる
E3は区間の長さの和がε/2^3未満の区間の和集合に含まれる
・・・
として行けば、E1∪E2∪E3∪…は区間の長さの和が、
ε/2+ε/2^2+ε/2^3+…=ε未満の区間の和集合に含まれる。
よって、E1∪E2∪E3∪…の測度は0である。
というような方針ではどうでしょうか?
良く2つの場合はε/2を使ったり、3つの場合はε/3を使ったりしますね。
これと同じ要領でε/anでΣanが収束するようなものを考えました。
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この回答へのお礼

ご回答有難うございます。

これでεで抑えられますね。さすがです。参りました。m(_ _)m

お礼日時:2008/01/28 01:16

ヒントを


1.自然数のうち奇数は何個ありますか?
2.偶数は何個ありますか。
3.それれを合わせた集合は要素が全部で何個ありますか。
どのようにして番号をつけますか?

そんなとこ
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この回答へのお礼

[(1)の解]
仮定から∀ε>0に対し、∃{I_1_n},{I_2_n} such that E_1⊂∪[n=1..∞]I_1_n,E_2⊂∪[n=1..n]I_2_n 且つ Σ[n=1..∞]L(I_1_n)<ε,Σ[n=1..∞]L(I_2_n)<ε
と書けるので
K_n:=I_1_n∪I_2_nと置くと
∀ε':=ε/2,∃{K_n} such that E_1∪E_2⊂∪[n=1..∞]{K_n}且つΣ[n=1..∞]L(K_n)=Σ[n=1..∞]L(In)+Σ[n=1..∞]L(J_n)<ε'+ε'=ε
従って E_1∪E_2も測度ゼロを持つ。

という示し方で大丈夫ですかね。

[(2)の解]
∪[n=1..m]E_n…(*)をmについての帰納法で示す。
m=2の時は(1)から(*)成立。
m=r-1(r>2)の時(*)成立と仮定すると
∀ε>0,∃{K_n}(K_n:=∪[m=1..r-1]I_m_n) such that ∪[n=1..r-1]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n且つΣ[n=1..∞]L(K_n)<ε
m=rの時は
∪[n=1..r]E_n=(∪[n=1..r-1]E_n)∪E_rと書け、∪[n=1..r-1]E_nとE_rとも測度ゼロを持つので夫々を(1)でのE_1とE_2と見立てると
∀ε>0に対し、∃{K_n} such that ∪[n=1..r]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n 且つ Σ[n=1..∞]L(K_n)<εと書ける。

うーん、しかし、これは有限個の和集合が測度ゼロを持つとしか言ってませんよね。
任意個は場合はどうやって証明すればいいでしょうか?


> 1.自然数のうち奇数は何個ありますか?

可算個です。

>2.偶数は何個ありますか。

可算個です。

> 3.それれを合わせた集合は要素が全部で何個ありますか。

可算個です。

> どのようにして番号をつけますか?

奇数1,3,5,…,に1,2,…,m,…と番号が振られてたら,2m-1と付けます。
偶数2,4,6,…,に1,2,…,m,…と番号が振られてたら,2mと付けます。

お礼日時:2008/01/27 09:32

(1)は定義から明らかです。

(2)を頑張りましょう。
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この回答へのお礼

[(1)の解]
仮定から∀ε>0に対し、∃{I_1_n},{I_2_n} such that E_1⊂∪[n=1..∞]I_1_n,E_2⊂∪[n=1..n]I_2_n 且つ Σ[n=1..∞]L(I_1_n)<ε,Σ[n=1..∞]L(I_2_n)<ε
と書けるので
K_n:=I_1_n∪I_2_nと置くと
∀ε':=ε/2,∃{K_n} such that E_1∪E_2⊂∪[n=1..∞]{K_n}且つΣ[n=1..∞]L(K_n)=Σ[n=1..∞]L(In)+Σ[n=1..∞]L(J_n)<ε'+ε'=ε
従って E_1∪E_2も測度ゼロを持つ。

という示し方で大丈夫ですかね。

[(2)の解]
∪[n=1..m]E_n…(*)をmについての帰納法で示す。
m=2の時は(1)から(*)成立。
m=r-1(r>2)の時(*)成立と仮定すると
∀ε>0,∃{K_n}(K_n:=∪[m=1..r-1]I_m_n) such that ∪[n=1..r-1]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n且つΣ[n=1..∞]L(K_n)<ε
m=rの時は
∪[n=1..r]E_n=(∪[n=1..r-1]E_n)∪E_rと書け、∪[n=1..r-1]E_nとE_rとも測度ゼロを持つので夫々を(1)でのE_1とE_2と見立てると
∀ε>0に対し、∃{K_n} such that ∪[n=1..r]E_n⊂∪[n=1..∞]K_n 且つ Σ[n=1..∞]L(K_n)<εと書ける。

うーん、しかし、これは有限個の和集合が測度ゼロを持つとしか言ってませんよね。
任意個は場合はどうやって証明すればいいでしょうか?

お礼日時:2008/01/27 09:27

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Q有理数の測度

有理数の集合の測度が0であることの証明は
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html
が定石だと思うのですが、その証明の過程で起こってることがとっても不思議です
「稠密な集合の1点1点を幅のある区間で覆っている」のに、Rを覆えないどころか、区間の幅の和がいくらでも小さくなっちゃうなんて。。。

このことについて、「なるほど~」と思える解説を教えてください
(集合の濃度にはあまり触れずにおねがいします)
よろしくおねがいします

Aベストアンサー

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在するといったイメージでしょうが、
実際、区間列の生成方法をうまく決めれば、そのような実数を探し出すことができそうな気がします。

そのような実数があったとして、その実数の近くのどの有理数をとっても、
その有理数を含む区間は狭すぎて、その実数を含まない状況になっていると想像できます。

専門家でなく、また、結構ブランクがあるので、ちゃんとした確認までしてませんが、
(と言い訳させていただきますが)
たぶん、あっているのではないでしょうか?

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在す...続きを読む

Qルベーグ測度について

質問があります。今ルベーグ測度について勉強しているのですが,ルベーグ測度0というのはどういう意味なのでしょうか??

Aベストアンサー

はじめまして。

測度というものは、集合の”大きさ”と捉えてよいと思います。ですから、測度0というのは、”大きさ”がないという意味と考えてはどうでしょう。

数学を少しはかじっていますが、専門ではないのでちゃんとした説明できないことをお許しください。

Qルベーグ可測集合ってなんですか???

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形・・・・・・・・・・・・   3次元ルベーグ可測集合  という。

私の疑問は、Q1.長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか???

ということと、

Q2.「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」  とは、どういう意味なのか???

ということです。測ることが出来ないくらい巨大な(宇宙サイズ?)図形に対して言ってるんですかね???

ちなみに、

面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。
ってことは、面積(体積)0の図形はルベーグ可測集合に属しますよね?

面積が0の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、
体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか???

なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・

すっごく分かりやすく教えて下さい。

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形...続きを読む

Aベストアンサー

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは? これは図ではえがけませんが集合です。集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。例えば、Q1を長さ1/2の区間で囲み、Q2は長さ1/2~2で囲み、Q3は1/2~3で囲み、、、、と。この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で1になります。次に覆う区間を短くしていきます、たとえば、Q1を長さ1/2~2の区間で覆い、Q2は長さ1/2~3で覆い、Q3は1/2~4でおおいと、、、(先ほどの等比級数であらわれた長さをひとつ、ずらしたものです)、、、この区間の長さの合計は1/2になります。このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は0に収束します。この収束値0を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。(有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが)、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。


以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。例えば、以下のリンクにあります

pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf

平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長...続きを読む

Q測度論の非可測集合って何?

実数の定理でしょうか? 興味がかきたてられます。
stomachmanさん、ぜひ回答をお願いします。
(全然急ぎでなくて結構です)
もちろんstomachmanさん以外の方も、回答をお待ちしています。

Aベストアンサー

逆指名は反則じゃないんですかぁ? 専門家もいらっしゃるでしょうに...うう、自爆じゃあっ。
非可測集合とバナッハ-タルスキーの定理。どちらも実務の計算とは無縁のものです。純粋数学の中にだけ現れ、直接の応用はないと思ってください。ご専門の方、ご笑覧の上フォローおねがいします。

 長さ・面積・体積といった広がりを測る概念(測度)との関連で、無限というものの「曲者性」が現れた現象のひとつが非可測集合です。さて、非可測集合とは、という話は教科書を見ていただくとして(ルベーグ積分、測度論、ボレル集合、などをキーワードにして探してみてください)、ここではなるべくいいかげんな説明と、いかにへんてこであるかの例を示すだけで勘弁して戴こうと思います。(いや、勘弁して戴きます!とても易しくかつ正確に説明するなんてできないや。)


●実数の対(x,y)で表される2次元空間の話です。1辺1の正方形を考えます。面積は1ですね。
 この正方形の中の点(x,y)のうち、xもyも有理数であるような点だけを集めた集合を考えます。この集合の「面積」はゼロ。もうびっくり? 有理数は自然数と1:1対応が付きますから、たかが可算無限個しかない。実数は非可算無限個。これに比べたら無視できるってわけですね。
 今度は正三角形を考えます。各辺の中点を結んで小さい正三角形を描き、この真ん中の正三角形の部分を切り抜いて捨てます。そうすると小さい正三角形3つでできた図形(どこかの食料品店のマークのような)が残りますね。このそれぞれの正三角形について、真ん中の正三角形の部分を捨て、.....と無限回やります。これは「シェルピンスキーのガスケット」という集合なんですが、非可算無限個の点を含んでいる。そして面積は0です。(なんですと?)
 ところが、それどころか、「面積」というものを考えることすらできないような集合がある。これが「非可測集合」です。
 面積というのは集合Aから実数sへの関数 s = m(A) です。そして「面積」というからには、Aをいくつかに分割してそれぞれの面積を求め、合計したら、元のAの面積になって欲しいですよね。少なくとも、元のAの面積より大きくなるんじゃ話にならない。ところが、どんなに上手にmを作っても「話にならない」状況が起こってしまうことが知られています。そういうやっかいな集合Aを「非可測」と呼ぶ訳です。
 
●2次元平面の部分集合Aであって、次の(1)(2)が同時に成り立つものが存在する。
  (1)2次元平面上の任意の場所に好きな大きさの円盤を描くと(どんなに小さい円盤でも)
   Aと円盤との共通点が必ず存在する。
  (2)2次元平面上に任意の直線を描くと、この直線とAとは高々2点しか共通点がない。

このAは実は非可測集合の一例です。(1)から分かるように、Aは平面上あまねく広がっている。なのに、(2)からわかるようにすかすかなんです。幽霊みたいですね。

●非可測集合は非構成的です。つまり、具体的な作り方(アルゴリズム)を記述することが不可能なんです。(もっとも、アルゴリズムが記述できる集合は可算無限個しかありませんが...)

●でも、ニアミスするまで迫ってみましょう。今度は1次元(数直線上)の「長さ」の話です。
「実数を二つ持ってきて、x, yとします。「xとyは仲良しである」とは両者の差 x-y が有理数であるという意味だ、と決めましょう。すると実数全部を、仲良しグループに分類することができます。このようなグループは無限個できます。各グループのメンバーは皆互いに仲良しですし、他のグループのメンバーとは仲良しではありません。どんな実数もどれかのグループに入ります。
 次に、各グループから委員を1つづつ出して貰います。(ただし委員は0以上1未満であること、とします。)どの委員を2つ持ってきても、仲良しではない。委員全部を集めた委員会集合Aを作りますと、Aは非可測になります。」(どうして?というのはしんどいので勘弁してください。)

 なんだ作り方が書けるじゃないか、と思われるでしょ?でも「どうやって委員を選ぶのか」が書いてない。これが実は本質的なんです。「てきとーでいいじゃん?」と、グループひとつひとつについて委員を選んでいたのでは無限個の委員を選び終わることができません。「グループのうち、0以上1未満である数の中で最大のやつを選ぶ」というのは良いアイデアですが、残念ながらグループ内に「1未満の最大の数」は存在しないんですよ。でも何か方法がありそう? 実は、ないんです。「存在することは証明できるが、やり方は本質的に分からない。」ここがポイントです。

 数学の公理のひとつに、選択公理というものがあります。すなわち「選択公理:与えられた集合の中から、要素をひとつ選び出すことができる。」当たり前みたいな話でしょう?でもこの公理を使うと「(どうやってかは知らないけど)委員を選ぶことができる。そこで...」と論を進められます。そしてその結果、「非可測集合」や「バナッハ-タルスキーの定理」など、へんてこなものが出てくる。でも、選択公理を拒絶すると、数学のパワーがまるで弱くなる。証明できることがもの凄く少なくなってしまう。数学のかなりの部分(しかもおいしいミソの部分)は選択公理がないと成り立たないんです。(「選択公理なしでどこまで行けるか」という研究分野があるからこそ、こういう事が分かったんです。)

●こういった話は、数学基礎論(「基礎的な数学」ではなく、数学の基礎となる前提に変なところはないか、などを研究する分野)です。「超限集合論」「選択公理」「連続体仮説」「不完全性定理」などなどについて、色々一般向けの解説書が出ていますが、著者ごとに説明の仕方(読者から見れば疑問のポイント)が違いますので、乱読をお勧めします。ちなみにStomachmanが数学基礎論と出会った最初の書物は「(島内剛一)数学の基礎」(既に絶版)でした。

●なお、可測集合(面積が定義できる集合)の中にも変なのはいます。
 1辺1の正方形の部分集合Aであって、面積は1であり、しかも、この集合Aに含まれるどの点(x,y)についても、「(x,y)を通り、しかも(x,y)以外ではAと交わらないような直線が少なくとも1本引ける。」そういう可測集合Aが存在する。
 つまり、Aはほとんど完全に正方形を埋め尽くしているというのに、A内のどの点からも、A自身に遮られずに外が見える、ってわけです。(わーい。こうなってくると、もうわかんないや。)

逆指名は反則じゃないんですかぁ? 専門家もいらっしゃるでしょうに...うう、自爆じゃあっ。
非可測集合とバナッハ-タルスキーの定理。どちらも実務の計算とは無縁のものです。純粋数学の中にだけ現れ、直接の応用はないと思ってください。ご専門の方、ご笑覧の上フォローおねがいします。

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Q半開区間は可算個の開区間の交わり? 閉区間の和? 

ボレル集合に関しての質問です。
ある本に、
every half-open interval [a,b) is a G_δ and an F_σ in R^1.
と書かれていたので気になったのですが、証明をつけようとしても、どうしてよいかわからないので教えてください。
(G_σは可算個の開集合の交わりで表される集合、F_δは可算個の閉集合の和で表される集合です。)
よろしくお願いします。m(__)m

Aベストアンサー

例えば、[0,1)だったら、
[0,1) = ∩_{n=1,∞} (-1/n, 1)
= ∪_{n=1,∞} [0 1-n/1]
です。

Q有理数が可算無限であることの証明

はじめまして。

有理数が可算無限であることを証明したいのですが、どのように証明できますでしょうか??

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

任意の正の整数nを素因数分解しますと、
p1^i1・p2^i2・ ・・・・・・ ・pk^ik
となります。ここで、p1,p2,・・・,pkはそれぞれ素数です。
ここで、
j1 = i1/2(i1が偶数のとき)
j1 = -(i1+1)/2(i1が奇数のとき)
とします。
j2,j3, ・・・ ,jk
についても上と同様とします。

すると、
p1^j1・p2^j2・ ・・・・・・ ・pk^jk
は、有理数です(mとする)。

このような関係が成立するとき、任意の正整数nは唯一の有理数mに対応します。また、任意の有理数mは唯一の正整数nに対応します。

よって、有理数は正整数に1対1に対応しますので、可算無限です。

これで証明になっているのではないでしょうか?

Q測度ゼロの集合?

X=Y=[0,1]
B_X=B_Y:[0,1]上のボレル代数
m:ルベーグ測度
n:数え上げ測度(counting measure)
として、測度空間(X, B_X, m)と(Y, B_Y, n)の直積測度空間を考えます。

このとき、PlanetMathの記事
http://planetmath.org/encyclopedia/CounterExampleToTonellisTheorem.html
によりますと、対角線集合
D={(x,y)∈X×Y|x=y}
の直積測度がゼロになるということなのですが、これはなぜでしょうか。測度論がわかる方がおられましたら、教えていただけないでしょうか。
どうぞ宜しくお願いします。

Aベストアンサー

たしかにそうですね。外測度で考えると、対角線集合のmとnの直積測度は∞になります。これが正解だろうと思います。これ以外には考えられそうもありません。

ついでですが、E={(x,0)|x∈X}、F={(0,y)|y∈Y}としたときには、(m×n)(E)=1×1=1、(m×n)(F)=0×∞=0となります。
集合としては、どちらも、対角線集合と変わりませんが、測度は全く異なります。異種の測度同士の直積測度の場合、集合を勝手に移動すること、特に回転移動が出来ないということですね。わたしも、もやもやとしたものが晴れて、すっきりしました。

Qボレル集合族って何ですか???

ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。

頭の悪い自分なりに考えたのですが、

自分の解釈が正しいのか全く分かりません。

指摘お願いします。

ちなみに自分なりの解釈↓

全体集合Ω={ω1、ω2、・・・・・}  Ωの元の個数はM個

Ωの部分集合の全ての集合F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・} 
  Fの元の個数は2^M個で、FはΩのσ加法族

A⊂Fがあるとき、Aの次に、Aを含む最小のσ加法族:Bが存在する。
このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という。

つまり↓

Ω={ω1、ω2、・・・・・}

F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・}

A⊂F

A={・・・・・・・}
B={A、・・・・・・・・・・}         BはAのσ加法族
C={A、B、・・・・・・・・・・}       CはBのσ加法族
D={A、B、C、・・・・・・・・・・}     DはCのσ加法族
E={A、B、C、D、・・・・・・・・・・}   EはDのσ加法族




A∊B∊C∊D∊E・・・で、 B、C、D、E・・・はAを含むσ加法族で、

B、C、D、E・・・のうち最小なものはBなので、BはAのボレル集合族である。

ってことですかね???

よく分からないのは、ボレル集合族の条件に、Ω∊B とありますが、

私の解釈だと、Ω∊B となっていません。 ???って感じです。

ちなみに私の解釈だと、全ての集合には、そのボレル集合族が存在します。
で、ある集合がボレル集合族ということは、その集合の元を集合とする集合があるってことです・・・?


頭が悪いので、むちゃくちゃ簡単に教えてもらわないと理解出来ません。

図書館で確率論の教科書を色々呼んだんですが、難しく書かれてあって、???です。

助けて下さい。

ボレル集合族を、イマイチ上手く捉えられません。

頭の悪い自分なりに考えたのですが、

自分の解釈が正しいのか全く分かりません。

指摘お願いします。

ちなみに自分なりの解釈↓

全体集合Ω={ω1、ω2、・・・・・}  Ωの元の個数はM個

Ωの部分集合の全ての集合F={Ω、Φ、ω1、ω2、・・・、(ω1ω2)、・・・} 
  Fの元の個数は2^M個で、FはΩのσ加法族

A⊂Fがあるとき、Aの次に、Aを含む最小のσ加法族:Bが存在する。
このBが、ボレル集合族で、ボレル集合族の元をボレル集合という...続きを読む

Aベストアンサー

ごめんんさいA^cは書き方がまずかったです。
Aの唯一の要素であるa=(ω}の補集合a^cが(ω2,ω3...ωm}と書くべきでした

ボレル集合族の定義自体は書かれている通りです。
ただそれは、全集合Ωで定義されるσ加法族の一つでしかないということです。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。


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