［電卓で立方根］のことで質問です

Question

こんにちは。はじめまして。
中学で数学のクラブに所属しています。友達とここの数学のところを見ていてQNo.3727231の［電卓で立方根］に興味を持ちました。
でもANo.4に書いてあるとおりにやってみても数はどんどん大きくなっていって、値が代わらなくなるまで、というのがわかりません。
質問した人はお礼を言って回答を締め切っているので、大人にはわかっても私たちの頭がついていけてないのだと思います。
すみませんが、中学生にわかるように操作手順を教えてもらえませんか？

また、どうしてこんな計算をすると√を使って３乗根が計算できるのかも教えてください。とっても不思議です。

それから、このように√を使って、４乗根、５乗根、・・・を求める方法はあるのでしょうか？
何乗根まで求められるのでしょうか？
教えてください。
よろしくお願いします。

h191224 · Accepted Answer

QNo.3727231のANo.4の方は、多分書き間違えられたのだと思います。

実際の操作は、3の立方根（＝3乗根）を求めたいなら、
3√√ × 3√√√√ × 3√√√√√√ × 3√√√√√√√√ ×…　・・・(1)
とやります。ここで 3 という数字はその都度入力します。

この書き方はルートの個数が増えると、数を数えにくいので、次のように書くことにしますね。
3√2個 × 3√4個 × 3√6個 × 3√8個 ×…　・・・(2)

この理屈は次の通りです。

まず記号の約束です。
3の平方根は、「3の、2分の１乗」と同じですから、これを3^(1/2)と書くことにします。
√a は、a^(1/2) と同じです。
中学生なら、÷という記号と、／という記号が同じ意味であることは、理解できますね？

（ ^ という記号は、a^b と書くと、a の b 乗を表します。コンピュータの世界ではよく使われる記号です。ほかに、a の b 乗を表すのには、a**b と書く方法もあります。）

また、簡単な公式を２つ覚えましょう。
(1)　a^b × a^c ＝ a^(b＋c)
(2)　a を b 乗し、さらに c 乗するときは、a^b^c　と書く。
　　a^b^c ＝ a^(bc)

(2)を発展させると、次のような関係式が成り立つこともわかります。
a^b^c^d^e＝a^(bcde)＝a^(bc)^(de)
a^b^b^b^b＝a^(b^4)＝a^{(b^2)^2}
a^b^b^b^b^b^b＝a^(b^6)＝a^{(b^2)^3}
（この上の2行の式は、あとで使います。）

こうすると、
3√2個＝3^{(1/2)^2}＝3^(1/4)
3√4個＝3^{(1/4)^2}
3√6個＝3^{(1/4)^3}
などとなります。

では、理屈の説明に入りましょう。
3の3乗根、などという特定の数ではなくて、一般の数の a の3乗根について見てみましょう。
(2)式のような操作にそって計算すると、どんな計算をしたことになるのかは、次でわかると思います。
Ｓ＝a√2個 × a√4個 × a√6個 × a√8個 …
＝a^(1/4) × a^{(1/4)^2} × a^{(1/4)^3} × a^{(1/4)^4} × …
＝a^{(1/4) ＋ (1/4)^2 ＋ (1/4)^3 ＋ (1/4)^4 ＋ …}

|x|(xの絶対値)＜1 のとき、等比級数の公式から、
x^1 ＋ x^2 ＋ x^3 ＋ x^4 ＋ … ＝ x ／ (1 － x)
なので、ここでは、x=1/4 ですから、
(1/4) ＋ (1/4)^2 ＋ (1/4)^3 ＋ (1/4)^4 ＋ …＝　1/3
になります。
…は、無限に繰り返すという意味ですが、実際に計算してみると、どんどん小さくなっていって、やがて影響がなくなっていくことがわかります。だから、適当なところで打ち切ってしまってかまいません。
（等比級数については中学で教わっていないと思いますので、とりあえず、そんなもんだ、と思っておきましょう。）

したがって、
Ｓ＝a^(1/3)
すなわち、aの3乗根になるというわけです。
ここには、極限値という考え方があります。
操作や式の中には、1/3などを含まないのに、結果として1/3が出てくると不思議な現象は、この極限値というところにあるのです。

ほかに、これに似たやり方で、10乗根までは、次のような計算ができます。
aの5乗根 ＝ a√2個 ÷ a√4個 × a√6個 ÷ a√8個 …
　( x ＝ -1/4 )

aの7乗根 ＝ a√3個 × a√6個 × a√9個 × a√12個 …
　( x ＝ 1/8 )

aの9乗根 ＝ a√3個 ÷ a√6個 × a√9個 ÷ a√12個 …
　( x ＝ -1/8 )

でも、実用的なのは、３乗根だけかも知れませんね？

ここで抜けている4乗根、6乗根、8乗根、10乗根は、次の式から計算できます。
aの4乗根 ＝ a√√
aの6乗根 ＝ (aの3乗根)√
aの8乗根 ＝ a√√√
aの10乗根 ＝ (aの5乗根)√

これ以上になると、11乗根、13乗根は、別の方法(反復法＝繰り返し法)で求めるしかないと思います。

一般に、 a の n 乗根を求めるための操作は、次のようになります。
メモリー付き電卓の場合には、キー操作だけでできます。

以下の操作手順は、√しかついていない電卓だと、計算の順序は打ち込んだ順番の通りに行うのが不通ですので、そのような単純な電卓を例として説明します。
（たとえば、
１＋２×３＝
と入れたとき、答は数学の規則どおりだと ７ になりますが、そうではなくて、
９
と計算する電卓が対象です。）


最初に、n 乗すると、a よりも大きくなる数を y とします。
（y は、3乗して a よりも大きくなれば、何でも良いのですが、早く答を求めたい場合には、なるべく a に近くなる数を選ぶと良いのです。）

このｙを M+ でメモリーに入れます。

以下、手順です。

　MR × MR × MR × ・・・[＝ MRの n 乗を計算]
　－ a
　÷ n
　÷ MR ÷ MR ÷ ・・・[MRで n-1 回割る]
　＝
　M-　[元のメモリーの値から計算結果を差引いて、それを新しいメモリーの値とする操作です。M- キーがない場合には、　+/- キーを押してから、M+ を押します。]

　以上を繰り返して、MR の値が変化しなくなったら、それが a の n 乗根です。
　ただし、MR で値を呼び出したとき、メモリーの中をクリアーしてしまうような電卓があると思います。その場合には、上の MR の所は、まずMRの値を表示して自分で書きとめておき、それをいちいち入力する必要があります。

上の理屈は、微分という操作を習わないと完全に理解はできないのですが、y を、a の n 乗根の近似値とした場合、
z ＝ (y^n － a）／ {n × y^(n - 1)}
を計算すると、y-ｚは、yよりもさらに精度の高い近似値になるという性質を利用しています。

わからないところがあったら、また質問してください。

Meowth · Answer

（補足）
もし高校のlog　と　漸化式の解法がわかるなら
以下のように収束値が求まる。
Aの立方根の場合、
初期値a(1)=A1
a(2)=√√{A×a(1)}
....
a(n+1)=√√{A×a(n)}＝{Aa(n)}^(1/4)
両辺の対数をとる（底はなんもいいがたとえば１０）
log(a(n+1))＝log{Aa(n)}^(1/4)=1/4{loga(n)+logA}
log(a(n))=bn logA=3B (３は係数を簡単にするため）
とおくと、
b(n+1)=1/4b(n)+3B/4
b(n+1)-B=1/4{b(n)-B}
b(n)-Bは公比１/4の等比数列だから
b(n)=(b1-B)(1/4)^(n-1)+B
b1=logA1/3
n→∞で　bn→B
log(a(n))→B＝(logA)/3=log{A^(1/3)} 
a(n)→A^（1/3) 
で初期値は適当で、A倍して√√　を繰り返すとAの立方根に収束する
Aをかける数とルートの数を変えると、
a(n+1)=√√・・・{３×a(n)}＝{A^qa(n)}^(1/2^p)
となる。
これはA^(q/(2^p-1))に収束する
p=2（√2回）で1/3　2/3 ....
p=3 (√3回）で 1/7,2/7,....
が求まる

age_momo · Answer

まあ、難しい話は指数法則を習っていない中学生では理解しづらいかも
知れませんのでいくつか実験をして見ましょう。

(1)3を押して後は√を押し続ける。1にどんどん近づいていきますね。
(2)馬鹿馬鹿しいかも知れませんが、2×8=16の√√を計算する。2になりますね。
つまり√を2回押すのは4乗根を求めているのです。

ある数字aにその数字の3乗を掛けるとaの4乗になります。
その数字の4乗根を計算するとaに戻ります。
電卓の計算結果に3を掛けているのは求めたい数字の3乗を掛けているのです。
では、最初にaではない数字、例えばaの3倍、3aから始めると
3a×a^3=3a^4
これの4乗根を求めるとa×3^(1/4)　　ここで3^(1/4)とは3の4乗根と思ってください。
さらにa^3を掛けて4乗根を求めるとa×3^(1/16)
続けるとa×3^(1/64)
どんどんとaに近づきます。(実験1です。3の√√・・・をすると1になりますから、a×1に
近づいていくのです)

実験を続けます。3の立方根だと無理数になって実験しづらいので8の立方根2を求めます。
6(つまり3a)に8を掛けて48。この4乗根を求めると(√√を押す)2.6321480259になります。
これは2の1.316074倍です。試しに3の√√(4乗根)を計算してください。
1.316074になります。
2.6321480259に8を掛けて√√を計算すると2.142151　これは2の1.071075倍です。
試しに3　√√√√を計算してください。同じ数字になります。
つまり、
2×3
2×3^(1/4)
2×3^(1/16)
2×3^(1/64)
・・・・
・・・・
2×1
という計算をしているのですよ。

Meowth · Answer

（ちなみに）
3√√ × 3√√√√ × 3√√√√√√ × 3√√√√√√√√ ×…
は１に収束すると思う
√キーを何回も押すと１になる
最後は
３→１→３→１で落ち着くのでは。

DIooggooID · Answer

この例では、最初に３の立方根を　１　と仮定しています。

１　x　３　= ３　・・・　この４乗根を求めるために、√ √ としています。
ここで得られた値 a を、３の立方根と仮定します。

 a　x　３　=　３a ・・・　この４乗根を求めるために、√ √ 　・・・。

電卓によっては、次のように、途中で "=" キー操作をしなければ、想定した解が得られないかもしれません。

　1 x 3 =  √ √ x 3 = √ √ x 3 = √ √ 

 　√ √ を入力した後の値が変化しなくなった時点で終了です。

noname#49614 · Answer

「どんどん大きくなる」ということは操作手順が違うんだと思います。
ちなみにあちらにあったのは「３の」立方根の話なんですが質問者さんはもしかして他の数で「×３√√」をやっていませんか？
３ではなく「立方根を求めたい数」をかけてから√を２回です。
＃１さんの説明の「３」を「x」にでも入れ替えて考えてみてください。

立方根の分かりやすい数で例を示します。
８は２の３乗ですから８の立方根は２です。２に８をかけて√を２回(４乗根)すると、２に戻るのは分かりますよね。
２７の立方根は３。３×２７＝８１の４乗根は３です。

まとめると「元の数を２乗してから√を２回押し、その後は“×元の数→√２回”を繰り返す」となります。これは操作の前の数が元の数の立方根でない限りは必ず操作前後で違う数になります。
これがなぜ立方根に近づいていくかというのはなかなか長くなるし中学生にの数学では説明しきれない(収束がどうこうという話になります)ので省かせていただきます。

ちなみに電卓の操作のときは「×元の数」のあと一旦「＝」を押してくださいね。でないとものによっては変な風に計算します。

Meowth · Answer

√３の場合、
初期値a(1)=√√３
（初期値は最初から解に近いほうが収束は早いだろうが）
a(2)=√√{３×a(1)}
....
a(n+1)=√√{３×a(n)}
この数列が収束したとすると、
a(∞)=α
として、
α=√√{３×α}
両辺を４乗すれば、
α^４=３×α
αで割ると
α^3=3
で収束値αは３の３乗根。
一般に３をAとすれば、収束すれば、Aの３乗根になる。
ちなみに６桁程度なら１０回程度でたいてい収束する。

＞ANo.4に書いてあるとおりにやってみても数はどんどん大きくなっていって、いく
のはおそらく入力ミス。

y=√√{3x}=(3x)^(1/4)
のグラフとｙ＝ｘのグラフをつかうと、
3乗根の解は、
y=xとy=(3x)^(1/4)
の交点。　anからa(n+1)へは、x=anからy=(3x)^(1/4)を求め、
（ｘ、ｙ）からｘ軸に平行にｙ＝ｘとの交点を求めると
それが、a(n+1)
これを繰り返すと、階段状にy=xとy=(3x)^(1/4)の交点に
近づいていく。anが解より大きければ
y>(3x)^(1/4)
小さければ
y<(3x)^(1/4)
で収束する方向にa(n+1)が求まる。

AsanoNagi · Answer

まず、操作ですが、書かれているとおりです。
といっても、注意するのは、普通の電卓（関数電卓でない）を使ってください。あと、電卓によっては、
３√√×３＝√√×３＝√√×３＝√√×３＝√√×３＝……
と、＝が必要になるかもしれません（というか、多分必要）

仕掛けについては、厳密な議論をするとちょっとあれですが、気持ちだけ。
この方法は、
３√√　（ここまでで４乗根が出ます）
×３＝　（ここは、３×（３の４乗根）です）

これを繰り返すわけです。

最終的には、ある数字になったとします。値が変わらなくなるまで繰り返すということなので。
（これをｘとおきます）

最終的にはこういう操作になります。
ｘ（これはここまでの操作で出ている数字）×３＝√√　ここで、やっぱりｘになる。
つまり、
（３ｘ）の４乗根＝ｘ
というところに落ち着きます。
言い換えると、
３ｘ＝ｘの４乗です。
ｘで両辺を割ると、
ｘ＝ｘの３乗

ということです。
実際には、本当にある数字に近づくのかみたいな話が必要なのですが、こんなところです。

Quattro99 · Answer

#1です。
その計算を繰り返していくとだんだん立方根に近づいていくのはなぜなのかについては簡単な説明を思いつきませんでした。

3乗根は(1/3)乗（3乗するとその数字になるから）のように表すのですが、そのように表すと
1回目で(1/4)乗、2回目で(5/16)乗、3回目で(21/64)乗となっていき（分母は4倍4倍．．．になっていき、分子は1、1+4、1+4+4の2乗、1+4+4の2乗+4の3乗．．．となっていく）、だんだん(1/3)乗に近づいていきます。

Quattro99 · Answer

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3727231.html
の#4さんの回答にあるように3の立方根を求めたとして、その数をaとします。
aに3をかけてそのルートそのまたルートと計算するとaになるのですから、3aの4乗根がaということになります。
3aの4乗根=a
両辺を4乗して、
3a=aの4乗
両辺をaで割って、
3=aの3乗となります。
つまり、aは3乗すると3になる数ということで3の立方根ということになります。

同じように、
３√√√×３√√√．．．を繰り返して数字が変わらなくなったら、それは3の7乗根ということになります（上述したのと同じようにして確かめてみてください）。

［電卓で立方根］のことで質問です

QNo.3727231のANo.4の方は、多分書き間違えられたのだと思います。

（補足）

まあ、難しい話は指数法則を習っていない中学生では理解しづらいかも

（ちなみに）

この例では、最初に３の立方根を １ と仮定しています。

「どんどん大きくなる」ということは操作手順が違うんだと思います。

√３の場合、

まず、操作ですが、書かれているとおりです。

#1です。

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