No.2
- 回答日時:
問題がおかしい(というか、f の条件が足りない)気がしますが。
たとえば、f(x) = 1 (x が整数の時), 0 (x が整数でないとき)
という写像だと(n = m = 1 です) f^-1(0) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} は、 R 上でベクトル空間を構成しませんから。
何か、f の条件が抜けていませんか(というのが、ヒント)
No.3
- 回答日時:
f は R^n から R^m への「線型写像で」という前提ですよね?
証明のやり方は、A No.1 さんが示しておられる通りです。
f^-1 についてですが、
f^-1(0) と書くのは単なる記号で、
質問文中にある通り {x∈R^n|f(x)=0} という集合を f^-1(0) と書く
習慣があるだけです。
本来は、集合関数として f^-1({0}) と書くべき筋のものなのかもしれませんが、
普通は、f^-1(0) と書きます。
f が一般の線型写像であれば、
無論、逆写像 f^-1 が存在するとは限りませんし、
f^-1(0) は、逆写像 f^-1 による 0 の像という意味ではありません。
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