0×0=0、0×2=0、9×0=0、0×55=0の様に0の掛け算が、こうなる事は教えられたので分かりますが、この0の掛け算という意味というか解釈がいまいち出来ません。
ある数字(0以外の数字=存在する数字)に0(無いもの)を掛ける事がどの様にしたら出来るのか気になりました。
言い換えれば、0に存在する数字をどうやって掛ける事が出来る事が出来るのですか?
いまいち納得いきません。
「無いものが3つある」とか小学校の時教わった気がしますが、無いものは、無いものだから3つあるという事は不可能な事だと思うのですが、、、ちなみに、0の足し算も存在する数字に無いものを足す事がどの様にする事が出来るのですか?(引き算、割り算も同じような感じに疑問です。)
皆さんの考えなり、納得いく方法などを教えて下さい。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
言葉だけで数学を理解しようとすると迷路に迷い込んでしまいます。
数の持つ規則性を見ることが大切です。
掛け算は足し算の便法です。足し算に置き換えて規則性を見ます。
3x4=3+3+3+3=12
3x3=3+3+3 = 9
3x2=3+3 = 6
3x1=3 = 3
3x0= = 0
乗数(掛ける数)が一つずつ減ると積(掛け算の結果)は被乗数ずつ減っていきます。
この規則性を0の場合にも適用すると理解できると思いますが。
No.7
- 回答日時:
0は数の概念の拡張の一環として認識されてきたものです。
「無いもの」といっていますが、0と「無いもの」はちがいます。0は0があるのです。だから計算ができます。「無いもの」では計算ができません。自然数(1,2,3・・・、正の整数)の範囲で、足し算と掛け算はすべてできます。しかし、足し算の逆演算・引き算はできません。・・・,
4-1=3,4-2=2,4-3=1までできますが、4-4= は答えがでません。自然数にないからです。それで終わりとする方法もあったと思いますが、この場合は0にしようと(昔の人が)決めて、計算できるようにしたのです。
4-5= も自然数の範囲では答えが出ません。これを-1として計算できるようにすれば、自然数の範囲と同じように計算ができます。
0から負の数に数を拡張したのです。A×0=0 として、拡張された数でも、自然数の場合と同じように計算ができるようにしたのです。
掛け算の逆演算・割り算ができるように拡張されたのが小数(分数)です。
x^2=2 の答えがあるように拡張されたのが√2などを含む無理数です。
まだありますがこれくらいで。
数の世界の中でいろいろな計算が整合性を持ってできるようにするためには、A×0=0 としておけばいいということです。
No.6
- 回答日時:
こんばんは。
これまでのご回答を拝見するに、#5様のご説明が最も良いように思います。
似た感覚で説明したいと思います。
3×3 = 9
3×2 = 6
3×1 = 3
と来れば、
掛ける数が1つ減るごとに、掛け算の結果が3ずつ減っているので、
規則性からいって、次は、
3×0 = 0
さらに次は、
3×(-1) = -3
3×(-2) = -6
3×(-3) = -9
とするのが、「なんとなくよさそうだ」ということになります。
掛け算は元々は正の数同士のものだったのですが、
規則性に着目して考え方を拡張し、0やマイナスの数についての掛け算も決めると色々と便利な面が出てきます。
一例を挙げますと、
東へ時速3kmで歩いている人は、
2時間後は、3×2=6 6km東にいる
1時間後は、3×1=3 3km東にいる
0時間後(現在)は、3×0=0 今の場所にいる
1時間前は、3×(-1)=-3 3km西にいた
2時間前は、3×(-2)=-6 6km西にいた
つまり、
理論はともかく、(規則性に着目して概念を拡張して、0の掛け算を定義すれば)「便利」なので、0の掛け算が考えられた(正しくは、「発見された」)ということです。
No.4
- 回答日時:
あまり感覚的ではないですが、数学的に0とは、どんな数に足しても
変わらない数として定義されます。
つまり、どんな数xに対しても、x+y=xとなるような数yのことを
0という記号で表します。
このような性質を持つ数は1つしかありません。
もし、他にも0’という数で、どんな数xに対してもx+0’=xと
なるような性質をもつものがあるとすると、
0+0’=0、0’+0=0’で、0+0’=0’+0より、0=0’
となるからです。
また、xに対して、x+y=0を満たすyのことを-xという記号で
表わします。
つまり、x+(-x)=0です。
この式を見ると、xは-xに対するマイナスと見られるので、
-(-x)=xとなります。
また掛け算と、足し算の分配法則を公理として認めると、xを任意の数
として、0x=(0+0)x=0x+0xとなり、-0xを足すと、
0x+(-0x)=0x+0x+(-0x)
0=0x
となります。
つまり、0をどんな数に足しても変わらない数として定義し、掛け算と
足し算の分配法則を公理として認めると、0は任意の数に掛けると0
になるということが証明されたことになります。
以上は数学的な議論です。
日常的な感覚としては、0x=0というのは、辺の長さが0とxの長方
形の面積は0であるとか、時速xで0時間進むと距離0進むとか色々考
えられると思います。
No.2
- 回答日時:
数学というのは、究極的にはイメージの世界です。
2次元方程式、3次元方程式までは現実的に想像がつきますが、数学では4次元以上の方程式も全く同じ土俵で扱います。
「虚数」なんてのは、その最たるものでしょう。
さて本題の「0」ですがこれを「何もない状態」と現実的に考えるから難しいのです。そう考えると「-1」というような「負数」などはとても現実的な数として考えられなくなってしまいます。
数直線をイメージして「0」は「単に1よりも1少ない数」として存在していると考えればいいのだと思います。
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