2変数の三次関数の極大値

f(x) = x^3 + 3px + 2q

が正の極大値を持つための必要十分条件の求め方を教えてください。

f'(x) = 3x^2 + 3q

より、p<0という条件とx = +√-p, -√-pを求め、
f(x)に代入するところまではやりました。

あとは、正の極大値になるような変形なのですが、
x = +√-p, -√-p

どちらが極大値なのかさっぱりわかりません。
よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/03/11 11:21

fuuraibou0　です。

こんどは係数を間違えていました。

f(x)＝ｘ^3＋３ｐｘ＋２ｑ、　f'(x)＝３ｘ^2＋３ｐ、　f"(x)＝６ｘ　より、

f(x)　が極値をとるためには、f'(x)＝３ｘ^2＋３ｐ＝０　で、ｘ＝±√－ｐ、
∴　ｐ＜０　のときで、

f"(-√-p)＝－６√－ｐ＜０　なら、f(-√-p)＝ｐ√－ｐ－３ｐ√－ｐ＋２ｑ
＝－２ｐ√－ｐ＋２ｑ が極大値で、正ならば、０＜－２ｐ√－ｐ＋２ｑ、
よって、ｐ√－ｐ＜ｑ　です。

なお、f"(√-p)＝６√－６＞０　なら、f(√-p)＝－ｐ√－ｐ＋３ｐ√－ｐ＋２ｑ
＝２ｐ√－ｐ＋２ｑ　は極小値です。

ゆえに、ｐ＜０　で、ｐ√－ｐ＜ｑ　が必要十分条件です。

No.4 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/03/11 11:16

fuuraibou0　です。

ちょっと符号を間違えていました。

f(x)＝ｘ^3＋３ｐｘ＋２ｑ、　f'(x)＝３ｘ^2＋３ｐ、　f"(x)＝６ｘ　より、

f(x)　が極値をとるためには、f'(x)＝３ｘ^2＋３ｐ＝０　で、ｘ＝±√－ｐ、
∴　ｐ＜０　のときで、

f"(-√-p)＝－６√－ｐ＜０　なら、f(-√-p)＝ｐ√－ｐ－３ｐ√－ｐ＋２ｑ
＝－２ｐ√－ｐ＋２ｑ が極大値で、正ならば、０＜－２ｐ√－ｐ＋２ｑ、
よって、２ｐ√－ｐ＜ｑ　です。

なお、f"(√-p)＝６√－６＞０　なら、f(√-p)＝－ｐ√－ｐ＋３ｐ√－ｐ＋２ｑ
＝２ｐ√－ｐ＋２ｑ　は極小値です。

ゆえに、ｐ＜０　で、２ｐ√－ｐ＜ｑ　が必要十分条件です。

No.3 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/03/11 10:29

f(x)＝ｘ^3＋３ｐｘ＋２ｑ、　f'(x)＝３ｘ^2＋３ｐ、　f"(x)＝６ｘ　より、

f'(x)＝３ｘ^2＋３ｐ＝０　は、ｘ＝±√－ｐ　で、ｐ＜０

f"(-√-p)＝－６√－ｐ＜０　なら、f(-√-p)＝－ｐ√－ｐ－３ｐ√－ｐ＋２ｑ＝－４ｐ√－ｐ＋２ｑ が極大値で、正ならば、０＜－４ｐ√－ｐ＋２ｑ、　　よって、２ｐ√－ｐ＜ｑ　です。

なお、f"(√-p)＝６√－６＞０　なら、f(√-p)＝－ｐ√－ｐ＋３ｐ√－ｐ＋２ｑ＝２ｐ√－ｐ＋２ｑ　は極小値です。

ゆえに、求める答は、ｐ＜０　で、２ｐ√－ｐ＜ｑ　が必要十分条件です。

No.2 回答者： tono-todo 回答日時： 2008/03/11 09:57

微積の数学を触っているにしては、質問がお粗末なので、まともな回答をしてよいものかどうか迷っています。

３次関数のグラフを頭に思い浮かべば自明ではないですか？

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/03/11 09:55

>2変数の三次関数

2変数でなく、文字定数が２つです。変数はxだけ。
>　f'(x) = 3x^2 + 3q
f'(x) = 3x^2 + 3p
の間違い。

ヒント
１）関数の変化を調べるには増減表を作るのが定石です。
２）極値だけを調べるのであればf"(+√(-p)),f"(-√(-p))の符号を調べることでいいですね。
f"(x)=6x
f"(-√(-p))=-6√(-p)<0 ここで極大値をとる。

極大値f(-√(-p))>0
正の極大値を持つための必要十分条件は
p<0, f(-√(-p))>0
これをp,qの条件式として整理すればいいでしょう。